Номер 572, страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

572. Докажите, что если в сечение, перпендикулярное боковому ребру призмы, можно вписать окружность, то объем такой призмы равен половине произведения длины радиуса этой окружности на площадь боковой поверхности призмы.

Для доказательства введем следующие обозначения:$V$ — объем призмы,$S_{бок}$ — площадь боковой поверхности призмы,$l$ — длина бокового ребра призмы,$S_{сеч}$ — площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,$P_{сеч}$ — периметр этого сечения,$r$ — радиус окружности, вписанной в это сечение, согласно условию задачи.

Объем любой призмы (как прямой, так и наклонной) можно вычислить по формуле, связывающей его с площадью перпендикулярного сечения и длиной бокового ребра:

$V = S_{сеч} \cdot l$

Аналогично, площадь боковой поверхности призмы связана с периметром перпендикулярного сечения и длиной бокового ребра следующей формулой:

$S_{бок} = P_{сеч} \cdot l$

По условию задачи, в многоугольник, являющийся перпендикулярным сечением, можно вписать окружность радиуса $r$. Площадь такого многоугольника выражается через его периметр и радиус вписанной окружности:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} P_{сеч} \cdot r$

Теперь выполним подстановку этих выражений, чтобы доказать требуемое утверждение. Возьмем формулу для объема призмы:

$V = S_{сеч} \cdot l$

Подставим в нее выражение для $S_{сеч}$ через периметр и радиус:

$V = \left(\frac{1}{2} P_{сеч} \cdot r\right) \cdot l$

Сгруппируем множители в правой части равенства:

$V = \frac{1}{2} r \cdot (P_{сеч} \cdot l)$

Заметим, что выражение в скобках, $P_{сеч} \cdot l$, равно площади боковой поверхности призмы $S_{бок}$. Произведем замену:

$V = \frac{1}{2} r \cdot S_{бок}$

Это и есть утверждение, которое требовалось доказать.

Ответ: Что и требовалось доказать.