Номер 573, страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

573. Требуется изготовить открытую коробку формы правильной шестиугольной призмы объемом $9 \text{ дм}^3$ из правильного шестиугольника со стороной $3 \text{ дм}$, вырезав из его углов равные четырехугольники, как показано на рисунке 186. Какую высоту будет иметь такая коробка?

Рисунок 186

Пусть $A$ — сторона исходного правильного шестиугольника, $V$ — объем изготавливаемой коробки, $h$ — искомая высота коробки, а $a$ — сторона правильного шестиугольника, являющегося основанием коробки.

По условию задачи, сторона исходного шестиугольника $A = 3$ дм, а объем коробки $V = 9$ дм³.

Объем правильной шестиугольной призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания. Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ находится по формуле $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$.

Таким образом, формула для объема коробки: $V = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 h$.

Далее необходимо установить связь между размерами исходного шестиугольника ($A$) и параметрами коробки ($a$ и $h$). Высота коробки $h$ образуется за счет загибания боковых стенок. Геометрически высота $h$ равна разности между апофемами (расстояниями от центра до середины стороны) исходного шестиугольника и шестиугольника-основания.

Апофема исходного шестиугольника со стороной $A$: $R = \frac{A\sqrt{3}}{2}$.
Апофема основания со стороной $a$: $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Высота коробки: $h = R - r = \frac{A\sqrt{3}}{2} - \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}(A - a)$.

Подставим известное значение $A = 3$ дм: $h = \frac{\sqrt{3}}{2}(3 - a)$.

Из этого соотношения выразим сторону основания $a$ через высоту $h$:
$\frac{2h}{\sqrt{3}} = 3 - a \implies a = 3 - \frac{2h}{\sqrt{3}}$.

Теперь подставим выражение для $a$ в формулу объема $V = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 h$ и используем заданное значение объема $V = 9$ дм³:$9 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(3 - \frac{2h}{\sqrt{3}}\right)^2 h$.

Решим полученное уравнение относительно $h$. Для начала упростим его:$\frac{9 \cdot 2}{3\sqrt{3}} = \left(3 - \frac{2h}{\sqrt{3}}\right)^2 h$
$\frac{6}{\sqrt{3}} = \left(9 - 2 \cdot 3 \cdot \frac{2h}{\sqrt{3}} + \frac{4h^2}{3}\right) h$
$2\sqrt{3} = \left(9 - 4\sqrt{3}h + \frac{4h^2}{3}\right) h$
$2\sqrt{3} = 9h - 4\sqrt{3}h^2 + \frac{4}{3}h^3$.

Умножим все части уравнения на 3 и перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить кубическое уравнение:$6\sqrt{3} = 27h - 12\sqrt{3}h^2 + 4h^3$
$4h^3 - 12\sqrt{3}h^2 + 27h - 6\sqrt{3} = 0$.

Можно проверить, что $h = \frac{\sqrt{3}}{2}$ является корнем этого уравнения:$4\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 - 12\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + 27\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 6\sqrt{3} = 4\left(\frac{3\sqrt{3}}{8}\right) - 12\sqrt{3}\left(\frac{3}{4}\right) + \frac{27\sqrt{3}}{2} - 6\sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} - 9\sqrt{3} + \frac{27\sqrt{3}}{2} - 6\sqrt{3} = \frac{30\sqrt{3}}{2} - 15\sqrt{3} = 15\sqrt{3} - 15\sqrt{3} = 0$.

Разделив многочлен $4h^3 - 12\sqrt{3}h^2 + 27h - 6\sqrt{3}$ на $(2h - \sqrt{3})$, мы получим квадратный трехчлен $2h^2 - 5\sqrt{3}h + 6$. Найдем остальные корни, решив уравнение $2h^2 - 5\sqrt{3}h + 6 = 0$.Дискриминант $D = (-5\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 75 - 48 = 27$.$h = \frac{5\sqrt{3} \pm \sqrt{27}}{4} = \frac{5\sqrt{3} \pm 3\sqrt{3}}{4}$.Корни: $h_1 = \frac{5\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{4} = \frac{8\sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3}$ и $h_2 = \frac{5\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Уравнение имеет два положительных решения: $h = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $h = 2\sqrt{3}$. Однако сторона основания $a$ должна быть положительной величиной:$a = 3 - \frac{2h}{\sqrt{3}} > 0 \implies 3 > \frac{2h}{\sqrt{3}} \implies h < \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Проверим найденные корни на соответствие этому условию:1. $h = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это значение удовлетворяет неравенству $h < \frac{3\sqrt{3}}{2}$, так как $\frac{1}{2} < \frac{3}{2}$. Это физически возможное решение.2. $h = 2\sqrt{3}$. Это значение не удовлетворяет неравенству, так как $2 > \frac{3}{2}$. При такой высоте сторона основания $a$ была бы отрицательной, что невозможно.

Таким образом, единственная подходящая высота для коробки равна $\frac{\sqrt{3}}{2}$ дм.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$ дм.