Номер 577, страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

577. Докажите, что объемы цилиндра, конуса и усеченного конуса, описанных около шара, равны одной трети произведений площадей их поверхностей на радиус шара.

Докажем утверждение для каждого из трех тел вращения, описанных около шара радиуса $r$. Требуется доказать, что объем $V$ каждого тела связан с площадью его полной поверхности $S_{полн}$ и радиусом вписанного шара $r$ формулой: $V = \frac{1}{3} S_{полн} \cdot r$.

Если цилиндр описан около шара радиуса $r$, то радиус основания цилиндра $R$ равен радиусу шара $r$, а высота цилиндра $H$ равна диаметру шара $2r$.

Объем цилиндра $V_{ц}$ вычисляется по формуле:

$V_{ц} = \pi R^2 H = \pi r^2 (2r) = 2\pi r^3$

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{ц}$ складывается из площади боковой поверхности $S_{бок}$ и площадей двух оснований $S_{осн}$.

$S_{бок} = 2\pi R H = 2\pi r (2r) = 4\pi r^2$

$S_{осн} = \pi R^2 = \pi r^2$

$S_{ц} = S_{бок} + 2S_{осн} = 4\pi r^2 + 2(\pi r^2) = 6\pi r^2$

Проверим требуемое соотношение:

$\frac{1}{3} S_{ц} \cdot r = \frac{1}{3} (6\pi r^2) \cdot r = 2\pi r^3$

Полученное выражение равно объему цилиндра $V_{ц}$, следовательно, утверждение для цилиндра доказано.

Ответ: Доказано, что объем цилиндра, описанного около шара, равен одной трети произведения площади его полной поверхности на радиус шара.

Если конус описан около шара радиуса $r$, то его осевым сечением является равнобедренный треугольник, в который вписана окружность радиуса $r$. Обозначим радиус основания конуса как $R$, высоту как $H$, а образующую как $L$.

Радиус вписанной в осевое сечение окружности можно найти по формуле $r = \frac{A}{p}$, где $A$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

$A = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = RH$

$p = \frac{2R + 2L}{2} = R + L$

Отсюда получаем соотношение: $r = \frac{RH}{R+L}$, или $r(R+L) = RH$.

Объем конуса $V_{к}$:

$V_{к} = \frac{1}{3} \pi R^2 H$

Площадь полной поверхности конуса $S_{к}$:

$S_{к} = S_{бок} + S_{осн} = \pi R L + \pi R^2 = \pi R (R+L)$

Проверим требуемое соотношение:

$\frac{1}{3} S_{к} \cdot r = \frac{1}{3} (\pi R (R+L)) \cdot r = \frac{1}{3} \pi R (r(R+L))$

Подставив $r(R+L) = RH$, получим:

$\frac{1}{3} \pi R (RH) = \frac{1}{3} \pi R^2 H$

Это выражение совпадает с формулой объема конуса $V_{к}$. Утверждение для конуса доказано.

Ответ: Доказано, что объем конуса, описанного около шара, равен одной трети произведения площади его полной поверхности на радиус шара.

Если усеченный конус описан около шара радиуса $r$, то его осевым сечением является равнобокая трапеция, в которую вписана окружность радиуса $r$. Обозначим радиусы оснований как $R_1$ и $R_2$, высоту как $H$, а образующую как $L$.

Высота усеченного конуса равна диаметру вписанного шара, то есть $H = 2r$.

Для трапеции, описанной около окружности, сумма оснований равна сумме боковых сторон. Основания трапеции в осевом сечении равны $2R_1$ и $2R_2$, а боковые стороны — $L$. Отсюда $2R_1 + 2R_2 = L + L$, что дает важное свойство: $R_1 + R_2 = L$.

Объем усеченного конуса $V_{ук}$:

$V_{ук} = \frac{1}{3} \pi H (R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2) = \frac{1}{3} \pi (2r) (R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2) = \frac{2}{3} \pi r (R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2)$

Площадь полной поверхности усеченного конуса $S_{ук}$:

$S_{ук} = S_{бок} + S_{осн1} + S_{осн2} = \pi (R_1 + R_2)L + \pi R_1^2 + \pi R_2^2$

Используя свойство $L = R_1 + R_2$, преобразуем формулу:

$S_{ук} = \pi (R_1 + R_2)(R_1 + R_2) + \pi R_1^2 + \pi R_2^2 = \pi (R_1^2 + 2R_1 R_2 + R_2^2) + \pi R_1^2 + \pi R_2^2 = 2\pi (R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2)$

Проверим требуемое соотношение:

$\frac{1}{3} S_{ук} \cdot r = \frac{1}{3} (2\pi (R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2)) \cdot r = \frac{2}{3} \pi r (R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2)$

Это выражение совпадает с формулой объема усеченного конуса $V_{ук}$. Утверждение для усеченного конуса доказано.

Ответ: Доказано, что объем усеченного конуса, описанного около шара, равен одной трети произведения площади его полной поверхности на радиус шара.