Страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

571. Основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ является равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB = AC = b$, $\angle A = \alpha$. Боковая грань $BB_1C_1C$ призмы является квадратом. Найдите объем призмы.

Объем прямой призмы $V$ вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ – площадь основания, а $h$ – высота призмы.

Основанием призмы является равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB = AC = b$ и $\angle A = \alpha$. Площадь основания найдем по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними: $S_{осн} = S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A) = \frac{1}{2} b \cdot b \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2}b^2\sin(\alpha)$.

Призма является прямой, поэтому ее высота $h$ равна длине бокового ребра, например, $BB_1$. По условию, боковая грань $BB_1C_1C$ является квадратом, из чего следует, что все ее стороны равны: $BB_1 = BC$. Таким образом, высота призмы $h$ равна длине стороны $BC$ основания.

Для нахождения длины стороны $BC$ в треугольнике $ABC$ воспользуемся теоремой косинусов: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle A)$ $BC^2 = b^2 + b^2 - 2 \cdot b \cdot b \cdot \cos(\alpha) = 2b^2 - 2b^2\cos(\alpha) = 2b^2(1 - \cos(\alpha))$.

Применим тригонометрическую формулу $1 - \cos(\alpha) = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$: $BC^2 = 2b^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4b^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$. Отсюда находим длину $BC$: $BC = \sqrt{4b^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})} = 2b\sin(\frac{\alpha}{2})$. Следовательно, высота призмы $h = 2b\sin(\frac{\alpha}{2})$.

Теперь можем вычислить объем призмы, подставив найденные значения площади основания и высоты: $V = S_{осн} \cdot h = \left(\frac{1}{2}b^2\sin(\alpha)\right) \cdot \left(2b\sin(\frac{\alpha}{2})\right) = b^3\sin(\alpha)\sin(\frac{\alpha}{2})$. Это выражение можно также записать в другом виде, используя формулу синуса двойного угла $\sin(\alpha) = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$: $V = b^3 \left(2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})\right) \sin(\frac{\alpha}{2}) = 2b^3\sin^2(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$.

Ответ: $b^3\sin(\alpha)\sin(\frac{\alpha}{2})$ или $2b^3\sin^2(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$.

572. Докажите, что если в сечение, перпендикулярное боковому ребру призмы, можно вписать окружность, то объем такой призмы равен половине произведения длины радиуса этой окружности на площадь боковой поверхности призмы.

Для доказательства введем следующие обозначения:$V$ — объем призмы,$S_{бок}$ — площадь боковой поверхности призмы,$l$ — длина бокового ребра призмы,$S_{сеч}$ — площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,$P_{сеч}$ — периметр этого сечения,$r$ — радиус окружности, вписанной в это сечение, согласно условию задачи.

Объем любой призмы (как прямой, так и наклонной) можно вычислить по формуле, связывающей его с площадью перпендикулярного сечения и длиной бокового ребра:

$V = S_{сеч} \cdot l$

Аналогично, площадь боковой поверхности призмы связана с периметром перпендикулярного сечения и длиной бокового ребра следующей формулой:

$S_{бок} = P_{сеч} \cdot l$

По условию задачи, в многоугольник, являющийся перпендикулярным сечением, можно вписать окружность радиуса $r$. Площадь такого многоугольника выражается через его периметр и радиус вписанной окружности:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} P_{сеч} \cdot r$

Теперь выполним подстановку этих выражений, чтобы доказать требуемое утверждение. Возьмем формулу для объема призмы:

$V = S_{сеч} \cdot l$

Подставим в нее выражение для $S_{сеч}$ через периметр и радиус:

$V = \left(\frac{1}{2} P_{сеч} \cdot r\right) \cdot l$

Сгруппируем множители в правой части равенства:

$V = \frac{1}{2} r \cdot (P_{сеч} \cdot l)$

Заметим, что выражение в скобках, $P_{сеч} \cdot l$, равно площади боковой поверхности призмы $S_{бок}$. Произведем замену:

$V = \frac{1}{2} r \cdot S_{бок}$

Это и есть утверждение, которое требовалось доказать.

Ответ: Что и требовалось доказать.

573. Требуется изготовить открытую коробку формы правильной шестиугольной призмы объемом $9 \text{ дм}^3$ из правильного шестиугольника со стороной $3 \text{ дм}$, вырезав из его углов равные четырехугольники, как показано на рисунке 186. Какую высоту будет иметь такая коробка?

Рисунок 186

Пусть $A$ — сторона исходного правильного шестиугольника, $V$ — объем изготавливаемой коробки, $h$ — искомая высота коробки, а $a$ — сторона правильного шестиугольника, являющегося основанием коробки.

По условию задачи, сторона исходного шестиугольника $A = 3$ дм, а объем коробки $V = 9$ дм³.

Объем правильной шестиугольной призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания. Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ находится по формуле $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$.

Таким образом, формула для объема коробки: $V = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 h$.

Далее необходимо установить связь между размерами исходного шестиугольника ($A$) и параметрами коробки ($a$ и $h$). Высота коробки $h$ образуется за счет загибания боковых стенок. Геометрически высота $h$ равна разности между апофемами (расстояниями от центра до середины стороны) исходного шестиугольника и шестиугольника-основания.

Апофема исходного шестиугольника со стороной $A$: $R = \frac{A\sqrt{3}}{2}$.
Апофема основания со стороной $a$: $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Высота коробки: $h = R - r = \frac{A\sqrt{3}}{2} - \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}(A - a)$.

Подставим известное значение $A = 3$ дм: $h = \frac{\sqrt{3}}{2}(3 - a)$.

Из этого соотношения выразим сторону основания $a$ через высоту $h$:
$\frac{2h}{\sqrt{3}} = 3 - a \implies a = 3 - \frac{2h}{\sqrt{3}}$.

Теперь подставим выражение для $a$ в формулу объема $V = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 h$ и используем заданное значение объема $V = 9$ дм³:$9 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(3 - \frac{2h}{\sqrt{3}}\right)^2 h$.

Решим полученное уравнение относительно $h$. Для начала упростим его:$\frac{9 \cdot 2}{3\sqrt{3}} = \left(3 - \frac{2h}{\sqrt{3}}\right)^2 h$
$\frac{6}{\sqrt{3}} = \left(9 - 2 \cdot 3 \cdot \frac{2h}{\sqrt{3}} + \frac{4h^2}{3}\right) h$
$2\sqrt{3} = \left(9 - 4\sqrt{3}h + \frac{4h^2}{3}\right) h$
$2\sqrt{3} = 9h - 4\sqrt{3}h^2 + \frac{4}{3}h^3$.

Умножим все части уравнения на 3 и перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить кубическое уравнение:$6\sqrt{3} = 27h - 12\sqrt{3}h^2 + 4h^3$
$4h^3 - 12\sqrt{3}h^2 + 27h - 6\sqrt{3} = 0$.

Можно проверить, что $h = \frac{\sqrt{3}}{2}$ является корнем этого уравнения:$4\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 - 12\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + 27\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 6\sqrt{3} = 4\left(\frac{3\sqrt{3}}{8}\right) - 12\sqrt{3}\left(\frac{3}{4}\right) + \frac{27\sqrt{3}}{2} - 6\sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} - 9\sqrt{3} + \frac{27\sqrt{3}}{2} - 6\sqrt{3} = \frac{30\sqrt{3}}{2} - 15\sqrt{3} = 15\sqrt{3} - 15\sqrt{3} = 0$.

Разделив многочлен $4h^3 - 12\sqrt{3}h^2 + 27h - 6\sqrt{3}$ на $(2h - \sqrt{3})$, мы получим квадратный трехчлен $2h^2 - 5\sqrt{3}h + 6$. Найдем остальные корни, решив уравнение $2h^2 - 5\sqrt{3}h + 6 = 0$.Дискриминант $D = (-5\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 75 - 48 = 27$.$h = \frac{5\sqrt{3} \pm \sqrt{27}}{4} = \frac{5\sqrt{3} \pm 3\sqrt{3}}{4}$.Корни: $h_1 = \frac{5\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{4} = \frac{8\sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3}$ и $h_2 = \frac{5\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Уравнение имеет два положительных решения: $h = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $h = 2\sqrt{3}$. Однако сторона основания $a$ должна быть положительной величиной:$a = 3 - \frac{2h}{\sqrt{3}} > 0 \implies 3 > \frac{2h}{\sqrt{3}} \implies h < \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Проверим найденные корни на соответствие этому условию:1. $h = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это значение удовлетворяет неравенству $h < \frac{3\sqrt{3}}{2}$, так как $\frac{1}{2} < \frac{3}{2}$. Это физически возможное решение.2. $h = 2\sqrt{3}$. Это значение не удовлетворяет неравенству, так как $2 > \frac{3}{2}$. При такой высоте сторона основания $a$ была бы отрицательной, что невозможно.

Таким образом, единственная подходящая высота для коробки равна $\frac{\sqrt{3}}{2}$ дм.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$ дм.

574. Цистерна вместимостью $50 \text{ м}^3$ имеет форму тела, состоящего из цилиндра и двух равных шаровых сегментов. Найдите с точностью до 0,01 м длину образующей цилиндра, если диаметр его основания равен 3 м, а высота сегмента 0,57 м.

Рисунок 186

Общий объем цистерны $V$ складывается из объема ее цилиндрической части $V_{цил}$ и объемов двух одинаковых шаровых сегментов $V_{сегм}$, которые примыкают к ее основаниям.
Таким образом, $V = V_{цил} + 2V_{сегм}$.
Согласно условию задачи, общий объем $V = 50 \text{ м}^3$.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V_{цил} = \pi r^2 L$, где $r$ – радиус основания, а $L$ – длина образующей (высота) цилиндра, которую необходимо найти.
Диаметр основания цилиндра равен $d = 3 \text{ м}$, следовательно, радиус $r = \frac{d}{2} = \frac{3}{2} = 1,5 \text{ м}$.
Подставив значение радиуса, получаем: $V_{цил} = \pi \cdot (1,5)^2 \cdot L = 2,25\pi L$.

Объем шарового сегмента можно найти по формуле $V_{сегм} = \frac{1}{6}\pi h(3r^2 + h^2)$, где $h$ – высота сегмента, а $r$ – радиус его основания.
По условию, высота сегмента $h = 0,57 \text{ м}$, а радиус его основания совпадает с радиусом основания цилиндра, то есть $r = 1,5 \text{ м}$.
Найдем суммарный объем двух шаровых сегментов:
$2V_{сегм} = 2 \cdot \frac{1}{6}\pi h(3r^2 + h^2) = \frac{1}{3}\pi h(3r^2 + h^2)$.
Подставим числовые значения:
$2V_{сегм} = \frac{1}{3}\pi \cdot 0,57 \cdot (3 \cdot (1,5)^2 + (0,57)^2) = 0,19\pi \cdot (3 \cdot 2,25 + 0,3249) = 0,19\pi \cdot (6,75 + 0,3249) = 0,19\pi \cdot 7,0749 = 1,344231\pi \text{ м}^3$.

Теперь мы можем подставить все известные величины в формулу для общего объема:
$50 = 2,25\pi L + 1,344231\pi$.
Выразим из этого уравнения искомую длину образующей $L$:
$2,25\pi L = 50 - 1,344231\pi$
$L = \frac{50 - 1,344231\pi}{2,25\pi} = \frac{50}{2,25\pi} - \frac{1,344231\pi}{2,25\pi} = \frac{50}{2,25\pi} - \frac{1,344231}{2,25}$.

Произведем вычисления, приняв значение $\pi \approx 3,14159$:
$L \approx \frac{50}{2,25 \cdot 3,14159} - \frac{1,344231}{2,25} \approx \frac{50}{7,06858} - 0,597436 \approx 7,07355 - 0,597436 \approx 6,47611 \text{ м}$.

Согласно условию, результат необходимо округлить с точностью до 0,01 м:
$L \approx 6,48 \text{ м}$.

Ответ: 6,48 м.

575. В прямой призме $ABC A_1 B_1 C_1$, $AB = 10$ см, $BC = 24$ см, $AC = 26$ см, а площадь $\Delta AB_1 C_1$ равна $180 \text{ см}^2$. Найдите объем пирамиды $B_1 A_1 ACC_1$.

1. Сначала проанализируем основание призмы — треугольник $ABC$. Даны длины его сторон: $AB = 10$ см, $BC = 24$ см, $AC = 26$ см. Проверим, выполняется ли для них теорема Пифагора:

$AB^2 + BC^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$ см$^2$.

$AC^2 = 26^2 = 676$ см$^2$.

Поскольку $AB^2 + BC^2 = AC^2$, по обратной теореме Пифагора треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ ($\angle ABC = 90^\circ$). Площадь основания призмы равна:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120$ см$^2$.

2. Теперь найдем высоту призмы $h$. Призма $ABCA_1B_1C_1$ прямая, это значит, что ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований, и $AA_1 = BB_1 = CC_1 = h$.

Рассмотрим треугольник $AB_1C_1$. Известно, что его площадь $S_{\triangle AB_1C_1} = 180$ см$^2$. В прямой призме боковая грань $ABB_1A_1$ перпендикулярна основанию $A_1B_1C_1$. Прямая $B_1C_1$ лежит в плоскости основания и перпендикулярна $A_1B_1$ (так как $\triangle A_1B_1C_1$ — прямоугольный). Следовательно, $B_1C_1$ перпендикулярна плоскости грани $ABB_1A_1$. Отсюда следует, что $B_1C_1$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой $AB_1$. Таким образом, треугольник $AB_1C_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B_1$.

Площадь прямоугольного треугольника $AB_1C_1$ равна половине произведения его катетов $AB_1$ и $B_1C_1$. Длина катета $B_1C_1$ равна длине соответствующей стороны основания $BC$, то есть $B_1C_1 = 24$ см.

$S_{\triangle AB_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot AB_1 \cdot B_1C_1$

$180 = \frac{1}{2} \cdot AB_1 \cdot 24$

$180 = 12 \cdot AB_1$

$AB_1 = \frac{180}{12} = 15$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABB_1$ (угол $B$ прямой, так как призма прямая). По теореме Пифагора найдем высоту призмы $h = BB_1$:

$AB_1^2 = AB^2 + BB_1^2$

$15^2 = 10^2 + h^2$

$225 = 100 + h^2$

$h^2 = 125 \implies h = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$ см.

3. Найдем объем пирамиды $B_1A_1ACC_1$. Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания пирамиды, а $H$ — ее высота.

В качестве основания пирамиды выберем боковую грань призмы — прямоугольник $ACC_1A_1$. Вершиной пирамиды будет точка $B_1$.

Площадь основания пирамиды (прямоугольника $ACC_1A_1$) равна:

$S_{ACC_1A_1} = AC \cdot CC_1 = 26 \cdot h = 26 \cdot 5\sqrt{5} = 130\sqrt{5}$ см$^2$.

Высотой пирамиды $H$ является перпендикуляр, опущенный из вершины $B_1$ на плоскость основания $ACC_1A_1$. Так как призма прямая, плоскость верхнего основания $A_1B_1C_1$ перпендикулярна плоскости боковой грани $ACC_1A_1$. Следовательно, искомая высота $H$ будет равна высоте треугольника $A_1B_1C_1$, проведенной из вершины $B_1$ к стороне $A_1C_1$. Обозначим эту высоту $h_{B_1}$.

Площадь треугольника $A_1B_1C_1$ равна площади $ABC$ и составляет $120$ см$^2$. Эту же площадь можно выразить через гипотенузу $A_1C_1 = 26$ см и высоту $h_{B_1}$:

$S_{\triangle A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot A_1C_1 \cdot h_{B_1}$

$120 = \frac{1}{2} \cdot 26 \cdot h_{B_1}$

$120 = 13 \cdot h_{B_1}$

$H = h_{B_1} = \frac{120}{13}$ см.

Теперь можем вычислить объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{ACC_1A_1} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 130\sqrt{5} \cdot \frac{120}{13}$

$V = \frac{130 \cdot 120 \cdot \sqrt{5}}{3 \cdot 13} = \frac{10 \cdot 120 \cdot \sqrt{5}}{3} = 10 \cdot 40 \cdot \sqrt{5} = 400\sqrt{5}$ см$^3$.

Ответ: $400\sqrt{5}$ см$^3$.

576. Дана правильная четырехугольная пирамида. Найдите:

а) наименьшую площадь ее боковой поверхности, если объем пирамиды равен $4 \text{ дм}^3$;

б) ее наибольший объем, если площадь боковой поверхности пирамиды равна $36 \text{ см}^2$.

а)

Пусть сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна $a$, а высота — $h$.

Объем пирамиды $V$ вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} a^2 h$.

По условию, $V = 4$ дм³, следовательно, $\frac{1}{3} a^2 h = 4$, откуда можно выразить высоту: $h = \frac{12}{a^2}$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна $S_{бок} = 2al$, где $l$ — апофема (высота боковой грани).

Апофема, высота и половина стороны основания образуют прямоугольный треугольник, поэтому $l = \sqrt{h^2 + (\frac{a}{2})^2}$.

Подставим выражение для $h$ в формулу для апофемы:

$l = \sqrt{(\frac{12}{a^2})^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{144}{a^4} + \frac{a^2}{4}}$.

Теперь выразим площадь боковой поверхности как функцию от $a$:

$S_{бок}(a) = 2a \sqrt{\frac{144}{a^4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{4a^2(\frac{144}{a^4} + \frac{a^2}{4})} = \sqrt{\frac{576}{a^2} + a^4}$.

Чтобы найти наименьшее значение $S_{бок}$, можно найти наименьшее значение ее квадрата, функции $f(a) = S_{бок}^2(a) = \frac{576}{a^2} + a^4$.

Найдем производную функции $f(a)$ по переменной $a$:

$f'(a) = (576a^{-2} + a^4)' = -2 \cdot 576a^{-3} + 4a^3 = -\frac{1152}{a^3} + 4a^3$.

Приравняем производную к нулю для нахождения точки экстремума:

$-\frac{1152}{a^3} + 4a^3 = 0 \implies 4a^3 = \frac{1152}{a^3} \implies 4a^6 = 1152 \implies a^6 = 288$.

Вторая производная $f''(a) = \frac{3 \cdot 1152}{a^4} + 12a^2$ положительна при $a > 0$, значит, найденная точка является точкой минимума.

Найдем минимальное значение площади боковой поверхности. При $a^6 = 288$, имеем $a^2 = \sqrt[3]{288}$ и $a^4 = (\sqrt[3]{288})^2$.

$S_{бок, мин}^2 = \frac{576}{\sqrt[3]{288}} + (\sqrt[3]{288})^2 = \frac{2 \cdot 288}{(288)^{1/3}} + (288)^{2/3} = 2 \cdot (288)^{2/3} + (288)^{2/3} = 3 \cdot (288)^{2/3}$.

$S_{бок, мин} = \sqrt{3 \cdot (288)^{2/3}} = \sqrt{3} \cdot (288)^{1/3} = \sqrt{3}\sqrt[3]{288}$.

Упростим выражение: $\sqrt[3]{288} = \sqrt[3]{8 \cdot 36} = 2\sqrt[3]{36}$.

$S_{бок, мин} = \sqrt{3} \cdot 2\sqrt[3]{36} = 2\sqrt{3}\sqrt[3]{36}$ дм².

Ответ: $2\sqrt{3}\sqrt[3]{36}$ дм².

б)

Пусть сторона основания равна $a$, высота — $h$, апофема — $l$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок} = 2al$. По условию $S_{бок} = 36$ см², значит $2al = 36$, или $al = 18$.

Связь между $a$, $h$ и $l$ та же: $l = \sqrt{h^2 + (\frac{a}{2})^2}$.

Подставим это в $al=18$: $a\sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}} = 18$.

Возведем обе части в квадрат: $a^2(h^2 + \frac{a^2}{4}) = 18^2 = 324$.

Отсюда выразим $h^2$: $a^2h^2 = 324 - \frac{a^4}{4} \implies h^2 = \frac{324}{a^2} - \frac{a^2}{4}$.

Объем пирамиды $V = \frac{1}{3}a^2h$. Чтобы найти максимум $V$, будем максимизировать $V^2$:

$V^2 = \frac{1}{9}a^4h^2 = \frac{1}{9}a^4(\frac{324}{a^2} - \frac{a^2}{4}) = \frac{1}{9}(324a^2 - \frac{a^6}{4})$.

Сделаем замену $x = a^2$. Нужно найти максимум функции $g(x) = \frac{1}{9}(324x - \frac{x^3}{4})$ при $x > 0$.

Найдем производную: $g'(x) = \frac{1}{9}(324 - \frac{3x^2}{4})$.

Приравняем производную к нулю:

$324 - \frac{3x^2}{4} = 0 \implies 3x^2 = 324 \cdot 4 \implies x^2 = 108 \cdot 4 = 432$.

$x = \sqrt{432} = \sqrt{144 \cdot 3} = 12\sqrt{3}$.

Вторая производная $g''(x) = \frac{1}{9}(-\frac{6x}{4}) = -\frac{x}{6}$ отрицательна при $x > 0$, значит, это точка максимума.

Максимальный объем достигается при $a^2 = 12\sqrt{3}$.

Найдем соответствующую высоту $h$:

$h^2 = \frac{324}{a^2} - \frac{a^2}{4} = \frac{324}{12\sqrt{3}} - \frac{12\sqrt{3}}{4} = \frac{27}{\sqrt{3}} - 3\sqrt{3} = \frac{27\sqrt{3}}{3} - 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$.

$h = \sqrt{6\sqrt{3}}$.

Теперь вычислим максимальный объем:

$V_{макс} = \frac{1}{3}a^2h = \frac{1}{3}(12\sqrt{3})\sqrt{6\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}\sqrt{6\sqrt{3}} = 4\sqrt{18\sqrt{3}} = 4\sqrt{9 \cdot 2\sqrt{3}} = 4 \cdot 3 \sqrt{2\sqrt{3}} = 12\sqrt{2\sqrt{3}}$ см³.

Ответ: $12\sqrt{2\sqrt{3}}$ см³.

577. Докажите, что объемы цилиндра, конуса и усеченного конуса, описанных около шара, равны одной трети произведений площадей их поверхностей на радиус шара.

Докажем утверждение для каждого из трех тел вращения, описанных около шара радиуса $r$. Требуется доказать, что объем $V$ каждого тела связан с площадью его полной поверхности $S_{полн}$ и радиусом вписанного шара $r$ формулой: $V = \frac{1}{3} S_{полн} \cdot r$.

Если цилиндр описан около шара радиуса $r$, то радиус основания цилиндра $R$ равен радиусу шара $r$, а высота цилиндра $H$ равна диаметру шара $2r$.

Объем цилиндра $V_{ц}$ вычисляется по формуле:

$V_{ц} = \pi R^2 H = \pi r^2 (2r) = 2\pi r^3$

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{ц}$ складывается из площади боковой поверхности $S_{бок}$ и площадей двух оснований $S_{осн}$.

$S_{бок} = 2\pi R H = 2\pi r (2r) = 4\pi r^2$

$S_{осн} = \pi R^2 = \pi r^2$

$S_{ц} = S_{бок} + 2S_{осн} = 4\pi r^2 + 2(\pi r^2) = 6\pi r^2$

Проверим требуемое соотношение:

$\frac{1}{3} S_{ц} \cdot r = \frac{1}{3} (6\pi r^2) \cdot r = 2\pi r^3$

Полученное выражение равно объему цилиндра $V_{ц}$, следовательно, утверждение для цилиндра доказано.

Ответ: Доказано, что объем цилиндра, описанного около шара, равен одной трети произведения площади его полной поверхности на радиус шара.

Если конус описан около шара радиуса $r$, то его осевым сечением является равнобедренный треугольник, в который вписана окружность радиуса $r$. Обозначим радиус основания конуса как $R$, высоту как $H$, а образующую как $L$.

Радиус вписанной в осевое сечение окружности можно найти по формуле $r = \frac{A}{p}$, где $A$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

$A = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = RH$

$p = \frac{2R + 2L}{2} = R + L$

Отсюда получаем соотношение: $r = \frac{RH}{R+L}$, или $r(R+L) = RH$.

Объем конуса $V_{к}$:

$V_{к} = \frac{1}{3} \pi R^2 H$

Площадь полной поверхности конуса $S_{к}$:

$S_{к} = S_{бок} + S_{осн} = \pi R L + \pi R^2 = \pi R (R+L)$

Проверим требуемое соотношение:

$\frac{1}{3} S_{к} \cdot r = \frac{1}{3} (\pi R (R+L)) \cdot r = \frac{1}{3} \pi R (r(R+L))$

Подставив $r(R+L) = RH$, получим:

$\frac{1}{3} \pi R (RH) = \frac{1}{3} \pi R^2 H$

Это выражение совпадает с формулой объема конуса $V_{к}$. Утверждение для конуса доказано.

Ответ: Доказано, что объем конуса, описанного около шара, равен одной трети произведения площади его полной поверхности на радиус шара.

Если усеченный конус описан около шара радиуса $r$, то его осевым сечением является равнобокая трапеция, в которую вписана окружность радиуса $r$. Обозначим радиусы оснований как $R_1$ и $R_2$, высоту как $H$, а образующую как $L$.

Высота усеченного конуса равна диаметру вписанного шара, то есть $H = 2r$.

Для трапеции, описанной около окружности, сумма оснований равна сумме боковых сторон. Основания трапеции в осевом сечении равны $2R_1$ и $2R_2$, а боковые стороны — $L$. Отсюда $2R_1 + 2R_2 = L + L$, что дает важное свойство: $R_1 + R_2 = L$.

Объем усеченного конуса $V_{ук}$:

$V_{ук} = \frac{1}{3} \pi H (R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2) = \frac{1}{3} \pi (2r) (R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2) = \frac{2}{3} \pi r (R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2)$

Площадь полной поверхности усеченного конуса $S_{ук}$:

$S_{ук} = S_{бок} + S_{осн1} + S_{осн2} = \pi (R_1 + R_2)L + \pi R_1^2 + \pi R_2^2$

Используя свойство $L = R_1 + R_2$, преобразуем формулу:

$S_{ук} = \pi (R_1 + R_2)(R_1 + R_2) + \pi R_1^2 + \pi R_2^2 = \pi (R_1^2 + 2R_1 R_2 + R_2^2) + \pi R_1^2 + \pi R_2^2 = 2\pi (R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2)$

Проверим требуемое соотношение:

$\frac{1}{3} S_{ук} \cdot r = \frac{1}{3} (2\pi (R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2)) \cdot r = \frac{2}{3} \pi r (R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2)$

Это выражение совпадает с формулой объема усеченного конуса $V_{ук}$. Утверждение для усеченного конуса доказано.

Ответ: Доказано, что объем усеченного конуса, описанного около шара, равен одной трети произведения площади его полной поверхности на радиус шара.

578. Если каждое ребро куба увеличить на 2 см, то объем нового куба будет больше объема первоначального куба на 98 $cm^3$. Чему равен объем первоначального куба?

1) 30 $cm^3$;

2) 27 $cm^3$;

3) 24 $cm^3$;

4) 49 $cm^3$;

5) 36 $cm^3$.

Пусть $a$ — длина ребра первоначального куба в сантиметрах. Тогда его объем $V_1 = a^3$. После увеличения каждого ребра на 2 см, его новая длина составит $a + 2$ см, а объем нового куба будет равен $V_2 = (a + 2)^3$.

По условию задачи, объем нового куба больше объема первоначального на 98 см³, что можно записать в виде уравнения:
$V_2 - V_1 = 98$
$(a + 2)^3 - a^3 = 98$

Для решения уравнения раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$:
$(a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 2 + 3 \cdot a \cdot 2^2 + 2^3) - a^3 = 98$
$a^3 + 6a^2 + 12a + 8 - a^3 = 98$

Упростим выражение, сократив $a^3$:
$6a^2 + 12a + 8 = 98$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:
$6a^2 + 12a + 8 - 98 = 0$
$6a^2 + 12a - 90 = 0$

Разделим обе части уравнения на 6 для упрощения:
$a^2 + 2a - 15 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Его корни можно найти, например, по теореме Виета. Сумма корней равна -2, а их произведение равно -15. Этим условиям удовлетворяют числа 3 и -5.
$a_1 = 3$, $a_2 = -5$

Поскольку длина ребра куба является геометрической величиной, она не может быть отрицательной. Следовательно, единственно верное решение — $a = 3$ см.

Теперь, зная длину ребра первоначального куба, найдем его объем:
$V_1 = a^3 = 3^3 = 27$ см³.

Ответ: 27 см³.