Страница 164 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

548. a) Правильная треугольная призма вписана в шар. Найдите объем шара, если сторона основания призмы равна 3 см, а ее высота $2\sqrt{6}$ см.

б) Найдите объем шара, описанного около прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 2 дм, 3 дм и 6 дм.

а) Для нахождения объема шара необходимо сначала найти его радиус $R$. Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. Поскольку правильная треугольная призма вписана в шар, все ее вершины лежат на поверхности шара. Центр описанного шара лежит на середине высоты призмы, соединяющей центры оснований. Радиус шара $R$ можно найти как гипотенузу в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются половина высоты призмы $(\frac{H}{2})$ и радиус окружности, описанной около основания призмы $(r)$. Дано: сторона основания $a = 3$ см, высота призмы $H = 2\sqrt{6}$ см. Сначала найдем радиус $r$ окружности, описанной около основания (правильного треугольника): $r = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см. Половина высоты призмы равна $\frac{H}{2} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}$ см. Теперь найдем квадрат радиуса шара $R$ по теореме Пифагора: $R^2 = (\frac{H}{2})^2 + r^2 = (\sqrt{6})^2 + (\sqrt{3})^2 = 6 + 3 = 9$. Отсюда радиус шара $R = \sqrt{9} = 3$ см. Наконец, вычисляем объем шара: $V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (3)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 4 \cdot 9 \pi = 36\pi$ см³. Ответ: $36\pi$ см³.

б) Для нахождения объема шара, описанного около прямоугольного параллелепипеда, необходимо найти его радиус $R$. Диаметр $2R$ такого шара равен пространственной диагонали $d$ параллелепипеда. Даны измерения параллелепипеда: $a = 2$ дм, $b = 3$ дм, $c = 6$ дм. Сначала найдем квадрат пространственной диагонали по формуле $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$. Подставляем значения: $d^2 = 2^2 + 3^2 + 6^2 = 4 + 9 + 36 = 49$. Отсюда диагональ $d = \sqrt{49} = 7$ дм. Радиус шара равен половине диагонали: $R = \frac{d}{2} = \frac{7}{2}$ дм. Теперь вычислим объем шара по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. $V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{7}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{7^3}{2^3} = \frac{4}{3}\pi \frac{343}{8} = \frac{4 \cdot 343 \pi}{3 \cdot 8} = \frac{343\pi}{6}$ дм³. Ответ: $\frac{343\pi}{6}$ дм³.

549. a)
Шар из алюминия имеет массу $93.6\pi$ г. Найдите радиус этого шара, если известно, что плотность алюминия равна $2.6 \text{ г}/\text{см}^3$.

б) Масса свинцового шара равна $0.5 \text{ кг}$. Найдите с точностью до $0.1 \text{ см}$ диаметр этого шара. (Плотность свинца равна $11.4 \text{ г}/\text{см}^3$.)

а)

Масса ($m$), плотность ($\rho$) и объем ($V$) связаны формулой $m = \rho \cdot V$. Сначала найдем объем алюминиевого шара, выразив его из этой формулы: $V = \frac{m}{\rho}$.
По условию, масса шара $m = 93,6\pi$ г, а плотность алюминия $\rho = 2,6$ г/см³.
Подставим эти значения в формулу:
$V = \frac{93,6\pi \text{ г}}{2,6 \text{ г/см³}} = 36\pi \text{ см³}$.
Объем шара также вычисляется по геометрической формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ - это радиус шара.
Приравняем два выражения для объема, чтобы найти радиус:
$\frac{4}{3}\pi R^3 = 36\pi$.
Разделим обе части уравнения на $\pi$:
$\frac{4}{3}R^3 = 36$.
Теперь выразим $R^3$:
$R^3 = 36 \cdot \frac{3}{4} = 9 \cdot 3 = 27$.
Чтобы найти радиус, извлечем кубический корень из 27:
$R = \sqrt[3]{27} = 3$ см.
Ответ: 3 см.

б)

Плотность свинца дана в г/см³, поэтому сначала переведем массу шара из килограммов в граммы:
$m = 0,5 \text{ кг} = 500 \text{ г}$.
Плотность свинца по условию $\rho = 11,4$ г/см³.
Найдем объем свинцового шара по формуле $V = \frac{m}{\rho}$:
$V = \frac{500}{11,4} \text{ см³}$.
Формула объема шара через его диаметр $d$ выглядит так: $V = \frac{1}{6}\pi d^3$. (Это следует из формулы $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ и того факта, что радиус $R = d/2$).
Приравняем выражения для объема, чтобы найти диаметр:
$\frac{1}{6}\pi d^3 = \frac{500}{11,4}$.
Выразим из этого уравнения $d^3$:
$d^3 = \frac{500 \cdot 6}{11,4 \cdot \pi} = \frac{3000}{11,4\pi}$.
Подставим примерное значение $\pi \approx 3,14159$ и произведем расчеты:
$d^3 \approx \frac{3000}{11,4 \cdot 3,14159} \approx \frac{3000}{35,8141} \approx 83,766 \text{ см³}$.
Теперь найдем диаметр, извлекая кубический корень:
$d = \sqrt[3]{83,766} \approx 4,376$ см.
По условию, результат нужно округлить с точностью до 0,1 см:
$d \approx 4,4$ см.
Ответ: 4,4 см.

550. a) Найдите с точностью до 0,01 $m^3$ объем шара, вписанного в равносторонний конус, образующая которого равна 1 $m$.

б) В шар радиуса 3 $dm$ вписан конус, объем которого равен 25\% объема шара. Найдите высоту конуса.

а)

Равносторонний конус — это конус, осевое сечение которого является равносторонним треугольником. Образующая конуса $l$ является стороной этого треугольника. По условию $l=1$ м, следовательно, сторона равностороннего треугольника $a = l = 1$ м.

Шар, вписанный в конус, в осевом сечении представляет собой окружность, вписанную в равносторонний треугольник. Радиус вписанного шара $r_{шара}$ равен одной трети высоты этого треугольника.

Сначала найдем высоту $H$ конуса, которая является высотой равностороннего треугольника со стороной $a=1$ м. По формуле высоты равностороннего треугольника:$H = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ м.

Теперь найдем радиус вписанного шара:$r_{шара} = \frac{1}{3}H = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ м.

Объем шара вычисляется по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r_{шара}^3$. Подставим найденное значение радиуса:$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{3\sqrt{3}}{216} = \frac{4\pi\sqrt{3}}{216} = \frac{\pi\sqrt{3}}{54}$ м³.

Для нахождения численного значения с точностью до 0,01 м³, используем приближенные значения $\pi \approx 3.14159$ и $\sqrt{3} \approx 1.73205$:$V_{шара} \approx \frac{3.14159 \cdot 1.73205}{54} \approx \frac{5.4414}{54} \approx 0.10076...$ м³.

Округляя результат до сотых, получаем $0.10$ м³.

Ответ: $0.10$ м³.

б)

Пусть радиус шара $R = 3$ дм. Найдем объем шара по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$:$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi (3)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi$ дм³.

По условию, объем вписанного конуса $V_{конуса}$ составляет 25% (то есть $\frac{1}{4}$) от объема шара:$V_{конуса} = 0.25 \cdot V_{шара} = \frac{1}{4} \cdot 36\pi = 9\pi$ дм³.

Формула объема конуса: $V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi r^2 H$, где $r$ — радиус основания конуса, а $H$ — его высота. Используя найденный объем, получаем:$\frac{1}{3}\pi r^2 H = 9\pi$, что упрощается до $r^2 H = 27$.

Для конуса, вписанного в шар, существует связь между его размерами ($r, H$) и радиусом шара $R$. Из рассмотрения осевого сечения (прямоугольный треугольник с гипотенузой $R$ и катетами $r$ и $|H-R|$) по теореме Пифагора следует: $r^2 + (H-R)^2 = R^2$.Отсюда выразим $r^2$:$r^2 = R^2 - (H-R)^2 = R^2 - (H^2 - 2HR + R^2) = 2HR - H^2$.

Подставим значение $R=3$ дм:$r^2 = 2 \cdot 3 \cdot H - H^2 = 6H - H^2$.

Теперь подставим это выражение для $r^2$ в уравнение $r^2 H = 27$:$(6H - H^2)H = 27$.$6H^2 - H^3 = 27$, или $H^3 - 6H^2 + 27 = 0$.

Мы получили кубическое уравнение. Его целые корни могут быть среди делителей числа 27. Проверим $H=3$:$3^3 - 6(3^2) + 27 = 27 - 6 \cdot 9 + 27 = 54 - 54 = 0$.Значит, $H_1=3$ является корнем уравнения.

Чтобы найти остальные корни, разделим многочлен $(H^3 - 6H^2 + 27)$ на $(H-3)$, получим $H^2 - 3H - 9$.Решим квадратное уравнение $H^2 - 3H - 9 = 0$ с помощью дискриминанта:$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 9 + 36 = 45$.Корни: $H = \frac{3 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{3 \pm 3\sqrt{5}}{2}$.

Один из корней, $H = \frac{3 - 3\sqrt{5}}{2}$, отрицателен, что невозможно для высоты.Другой корень, $H_2 = \frac{3 + 3\sqrt{5}}{2}$, является положительным. Высота вписанного конуса должна быть в пределах $0 < H < 2R$, то есть $0 < H < 6$.$H_2 \approx \frac{3 + 3 \cdot 2.236}{2} \approx 4.854$ дм, что удовлетворяет этому условию.

Таким образом, задача имеет два возможных решения для высоты конуса.

Ответ: 3 дм или $\frac{3 + 3\sqrt{5}}{2}$ дм.

551. Найдите объем шарового сектора, если известно, что:
а) дуга в его осевом сечении равна 120°, а стягивающая хорда равна $4\sqrt{3}$ см;
б) длина окружности основания равна $18\pi$ см, а радиус шара 15 см.

а)

Объем шарового сектора находится по формуле $V = \frac{2}{3}\pi R^2 h$, где $R$ – это радиус шара, а $h$ – высота соответствующего шарового сегмента (или шапочки).

Сначала найдем радиус шара $R$. В осевом сечении мы имеем круг радиуса $R$. Дуга этого круга в $120^\circ$ стягивается хордой длиной $l = 4\sqrt{3}$ см. Радиусы, проведенные к концам хорды, образуют с хордой равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными $R$, и углом между ними $\alpha = 120^\circ$.

По теореме косинусов для этого треугольника:

$l^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(\alpha)$

$(4\sqrt{3})^2 = 2R^2 - 2R^2 \cos(120^\circ)$

$16 \cdot 3 = 2R^2(1 - (-\frac{1}{2}))$

$48 = 2R^2(\frac{3}{2})$

$48 = 3R^2$

$R^2 = 16$, откуда $R = 4$ см.

Теперь найдем высоту шарового сегмента $h$. Высота сегмента связана с радиусом шара и расстоянием $d$ от центра шара до основания сегмента (хорды в нашем сечении) как $h = R - d$. Расстояние $d$ можно найти из прямоугольного треугольника, образованного радиусом $R$, половиной хорды $\frac{l}{2}$ и отрезком $d$. Угол в этом треугольнике при центре шара равен $\frac{\alpha}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

$d = R \cos(60^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ см.

Тогда высота сегмента:

$h = R - d = 4 - 2 = 2$ см.

Наконец, вычислим объем шарового сектора:

$V = \frac{2}{3}\pi R^2 h = \frac{2}{3}\pi \cdot 4^2 \cdot 2 = \frac{2}{3}\pi \cdot 16 \cdot 2 = \frac{64\pi}{3}$ см³.

Ответ: $\frac{64\pi}{3}$ см³.

б)

Известно, что длина окружности основания шарового сектора $C = 18\pi$ см, а радиус шара $R = 15$ см. Объем шарового сектора вычисляется по той же формуле: $V = \frac{2}{3}\pi R^2 h$.

Сначала найдем радиус $r$ окружности основания сектора из формулы длины окружности $C = 2\pi r$:

$18\pi = 2\pi r$

$r = \frac{18\pi}{2\pi} = 9$ см.

Теперь найдем высоту шарового сегмента $h$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара $R$ (гипотенуза), радиусом основания $r$ и расстоянием $d$ от центра шара до плоскости основания (катеты). По теореме Пифагора:

$R^2 = r^2 + d^2$

$d^2 = R^2 - r^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$

$d = \sqrt{144} = 12$ см.

Высота шарового сегмента $h$ равна $h = R - d$ (предполагая, что сегмент меньше полушария):

$h = 15 - 12 = 3$ см.

Теперь вычислим объем шарового сектора:

$V = \frac{2}{3}\pi R^2 h = \frac{2}{3}\pi \cdot 15^2 \cdot 3 = 2\pi \cdot 225 = 450\pi$ см³.

Ответ: $450\pi$ см³.

552. a) Найдите объем сегмента, содержащегося в полушаре, если его основание находится на расстоянии 2 см от центра шара, радиус которого 5 см.

б) Плоскость, проведенная через конец радиуса шара и образующая с ним угол $60^\circ$, отсекает от полушара сегмент. Найдите его объем, если радиус шара равен 2 дм.

а)

Дано: радиус шара $R = 5$ см, расстояние от центра шара до основания сегмента $d = 2$ см. Сегмент содержится в полушаре, что означает, что его основание параллельно основанию полушара.

Объем шарового сегмента вычисляется по формуле: $V = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$, где $R$ — радиус шара, а $h$ — высота сегмента.

Высота сегмента $h$ — это разность между радиусом шара и расстоянием от центра до основания сегмента.

$h = R - d = 5 - 2 = 3$ см.

Теперь подставим известные значения в формулу для вычисления объема:

$V = \pi \cdot 3^2 \cdot (5 - \frac{3}{3}) = \pi \cdot 9 \cdot (5 - 1) = \pi \cdot 9 \cdot 4 = 36\pi$ см³.

Ответ: $36\pi$ см³.

б)

Дано: радиус шара $R = 2$ дм. Плоскость, отсекающая сегмент, проходит через конец радиуса и образует с ним угол $\alpha = 60^\circ$.

Сначала найдем расстояние $d$ от центра шара до секущей плоскости. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является радиус $R$, проведенный в точку на плоскости, а одним из катетов — перпендикуляр $d$, опущенный из центра на эту плоскость. Угол между радиусом и плоскостью (угол между гипотенузой и другим катетом) по условию равен $60^\circ$.

Из определения синуса угла в прямоугольном треугольнике имеем:

$\sin(\alpha) = \frac{d}{R}$

Отсюда $d = R \cdot \sin(60^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ дм.

Высота отсекаемого сегмента $h$ равна разности радиуса и расстояния от центра до плоскости:

$h = R - d = 2 - \sqrt{3}$ дм.

Теперь используем формулу объема шарового сегмента: $V = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$.

Подставим значения $R$ и $h$:

$V = \pi (2 - \sqrt{3})^2 \cdot (2 - \frac{2 - \sqrt{3}}{3})$

Вычислим каждый из множителей:

$(2 - \sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$.

$2 - \frac{2 - \sqrt{3}}{3} = \frac{3 \cdot 2 - (2 - \sqrt{3})}{3} = \frac{6 - 2 + \sqrt{3}}{3} = \frac{4 + \sqrt{3}}{3}$.

Теперь найдем произведение, чтобы получить объем:

$V = \pi \cdot (7 - 4\sqrt{3}) \cdot \frac{4 + \sqrt{3}}{3} = \frac{\pi}{3} (7 - 4\sqrt{3})(4 + \sqrt{3})$

$V = \frac{\pi}{3} (7 \cdot 4 + 7\sqrt{3} - 4\sqrt{3} \cdot 4 - 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} (28 + 7\sqrt{3} - 16\sqrt{3} - 12)$

$V = \frac{\pi}{3} (16 - 9\sqrt{3})$ дм³.

Ответ: $\frac{\pi(16 - 9\sqrt{3})}{3}$ дм³.

553. Диаметр шара, равный 20 см, разделен на три части в отношении 1 : 4 : 5. Через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные диаметру. Найдите объем получившегося шарового слоя.

По условию, диаметр шара $D = 20$ см. Следовательно, его радиус $R = \frac{D}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

Диаметр разделен на три части в отношении $1:4:5$. Найдем длину каждой части. Сумма частей отношения равна $1+4+5=10$. Длина одной условной части составляет $20 \text{ см} / 10 = 2$ см. Тогда длины отрезков, на которые разделен диаметр, равны:

• Первый отрезок: $1 \cdot 2 = 2$ см.
• Второй отрезок: $4 \cdot 2 = 8$ см.
• Третий отрезок: $5 \cdot 2 = 10$ см.

Проверка: $2 + 8 + 10 = 20$ см.

Через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные диаметру. Эти плоскости отсекают от шара шаровой слой. Высота этого шарового слоя $h$ равна длине среднего отрезка диаметра, то есть $h=8$ см.

Объем шарового слоя вычисляется по формуле $V = \frac{1}{6}\pi h(3r_1^2 + 3r_2^2 + h^2)$, где $h$ — высота слоя, а $r_1$ и $r_2$ — радиусы его оснований (кругов, полученных в сечении).

Для нахождения радиусов оснований $r_1$ и $r_2$ введем систему координат с центром в центре шара. Пусть диаметр лежит на оси Ox, тогда его концы находятся в точках с координатами $(-10, 0)$ и $(10, 0)$. Точки деления будут иметь координаты $x_1 = -10 + 2 = -8$ и $x_2 = -8 + 8 = 0$. Таким образом, шаровой слой ограничен плоскостями $x=-8$ и $x=0$.

Радиус сечения $r$ на расстоянии $x$ от центра шара связан с радиусом шара $R$ соотношением $r^2 = R^2 - x^2$.

Найдем квадрат радиуса первого основания, которое находится в плоскости $x_1=-8$:

$r_1^2 = R^2 - x_1^2 = 10^2 - (-8)^2 = 100 - 64 = 36$ см².

Найдем квадрат радиуса второго основания, которое находится в плоскости $x_2=0$ (плоскость большого круга):

$r_2^2 = R^2 - x_2^2 = 10^2 - 0^2 = 100$ см².

Теперь подставим найденные значения в формулу объема шарового слоя:

$V = \frac{1}{6}\pi h(3r_1^2 + 3r_2^2 + h^2) = \frac{1}{6}\pi \cdot 8 \cdot (3 \cdot 36 + 3 \cdot 100 + 8^2)$.

$V = \frac{4\pi}{3} (108 + 300 + 64) = \frac{4\pi}{3} (472)$.

$V = \frac{1888\pi}{3}$ см³.

Ответ: $\frac{1888\pi}{3}$ см³.

554. В цилиндрическую мензурку с водой, наполненную до некоторого уровня, опущены 4 металлических шарика, радиус каждого из которых равен $5 \text{ мм}$. На сколько миллиметров поднялся уровень воды в мензурке, если диаметр ее основания равен $2,5 \text{ см}$? Ответ дайте с точностью до $0,1 \text{ мм}$.

Когда 4 металлических шарика опускают в мензурку, уровень воды поднимается. Объем вытесненной воды равен общему объему четырех шариков. Этот объем вытесненной воды имеет форму цилиндра с высотой $h$ (искомое изменение уровня воды) и площадью основания, равной площади основания мензурки.

1. Вычисление общего объема шариков
Сначала найдем объем одного шарика. Формула для объема шара: $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3$.
Радиус каждого шарика по условию $r = 5$ мм.
$V_{одного~шарика} = \frac{4}{3}\pi (5)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 125 = \frac{500}{3}\pi$ мм³.
Так как в мензурку опустили 4 шарика, их общий объем равен:
$V_{общий} = 4 \cdot V_{одного~шарика} = 4 \cdot \frac{500}{3}\pi = \frac{2000}{3}\pi$ мм³.

2. Вычисление высоты подъема воды
Объем вытесненной воды в цилиндрической мензурке равен $V_{воды} = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания мензурки, а $h$ — высота, на которую поднялся уровень воды.
Площадь основания (круга) вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi R^2$, где $R$ — радиус основания мензурки.
Диаметр основания мензурки $D = 2,5$ см. Переведем эту величину в миллиметры: $D = 25$ мм.
Тогда радиус основания $R = \frac{D}{2} = \frac{25}{2} = 12,5$ мм.
Теперь приравняем общий объем шариков к объему вытесненной воды:
$V_{общий} = V_{воды}$
$\frac{2000}{3}\pi = \pi R^2 h$
$\frac{2000}{3}\pi = \pi (12,5)^2 h$
Сократим $\pi$ в обеих частях уравнения и выразим $h$:
$h = \frac{2000}{3 \cdot (12,5)^2} = \frac{2000}{3 \cdot 156,25} = \frac{2000}{468,75} \approx 4,2666...$ мм.

3. Округление результата
Согласно условию, ответ необходимо дать с точностью до 0,1 мм. Округляем полученное значение:
$h \approx 4,3$ мм.
Ответ: 4,3 мм.

555. Прямая треугольная призма, стороны основания которой 29 см, 35 см и 48 см, описана около шара. Найдите объем шара.

Поскольку прямая треугольная призма описана около шара, это означает, что шар вписан в призму. Радиус шара, вписанного в прямую призму, равен радиусу окружности, вписанной в основание этой призмы. Обозначим радиус шара как $R$. Объем шара вычисляется по формуле: $V = \frac{4}{3} \pi R^3$.

Для нахождения объема шара необходимо найти его радиус $R$, который равен радиусу $r$ окружности, вписанной в треугольник основания. Стороны треугольника в основании равны $a = 29$ см, $b = 35$ см и $c = 48$ см.

Радиус вписанной окружности $r$ находится по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ – площадь треугольника, а $p$ – его полупериметр.

1. Найдем полупериметр треугольника:
$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{29 + 35 + 48}{2} = \frac{112}{2} = 56$ см.

2. Найдем площадь треугольника по формуле Герона:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{56(56-29)(56-35)(56-48)}$
$S = \sqrt{56 \cdot 27 \cdot 21 \cdot 8} = \sqrt{(7 \cdot 8) \cdot (3^3) \cdot (3 \cdot 7) \cdot 8} = \sqrt{8^2 \cdot 7^2 \cdot 3^4} = 8 \cdot 7 \cdot 3^2 = 56 \cdot 9 = 504$ см².

3. Найдем радиус вписанной окружности:
$r = \frac{S}{p} = \frac{504}{56} = 9$ см.

Радиус шара $R$ равен радиусу вписанной в основание окружности, то есть $R = r = 9$ см.

4. Вычислим объем шара:
$V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (9)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 729 = 4 \pi \cdot 243 = 972\pi$ см³.

Ответ: $972\pi$ см³.

556. Найдите:

а) объем шарового сектора, радиус которого равен 3 дм, а угол между двумя радиусами в его осевом сечении $120^\circ$;

б) отношение объема шарового сектора к объему шара, если площадь осевого сечения сектора в 3 раза меньше площади большого круга шара.

а) Объем шарового сектора вычисляется по формуле $V_{сектора} = \frac{2}{3} \pi R^2 h$, где $R$ — радиус шара, а $h$ — высота соответствующего шарового сегмента.
По условию, радиус шара $R = 3$ дм, а угол в осевом сечении $\alpha = 120°$.
Высоту шарового сегмента $h$ можно найти из осевого сечения. Осевое сечение шарового сектора — это круговой сектор. Расстояние от центра шара до плоскости, отсекающей шаровой сегмент, равно $d = R \cos(\frac{\alpha}{2})$.
Найдем это расстояние:
$d = 3 \cdot \cos(\frac{120°}{2}) = 3 \cdot \cos(60°) = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1.5$ дм.
Высота шарового сегмента $h$ равна разности между радиусом шара и расстоянием $d$:
$h = R - d = 3 - 1.5 = 1.5$ дм.
Теперь вычислим объем шарового сектора:
$V_{сектора} = \frac{2}{3} \pi R^2 h = \frac{2}{3} \pi \cdot (3)^2 \cdot 1.5 = \frac{2}{3} \pi \cdot 9 \cdot 1.5 = 6\pi \cdot 1.5 = 9\pi$ дм³.
Ответ: $9\pi$ дм³.

б) Найдем отношение объема шарового сектора $V_{сектора}$ к объему шара $V_{шара}$.
Формула объема шара: $V_{шара} = \frac{4}{3} \pi R^3$.
Формула объема шарового сектора: $V_{сектора} = \frac{2}{3} \pi R^2 h$.
Их отношение: $\frac{V_{сектора}}{V_{шара}} = \frac{\frac{2}{3} \pi R^2 h}{\frac{4}{3} \pi R^3} = \frac{2R^2 h}{4R^3} = \frac{h}{2R}$.
По условию, площадь осевого сечения сектора ($S_{сечения}$) в 3 раза меньше площади большого круга шара ($S_{круга}$).
Площадь большого круга: $S_{круга} = \pi R^2$.
Площадь осевого сечения, которое является круговым сектором с углом $\alpha$: $S_{сечения} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360°}$.
Составим уравнение из условия $S_{круга} = 3 \cdot S_{сечения}$:
$\pi R^2 = 3 \cdot \frac{\pi R^2 \alpha}{360°}$
Разделив обе части на $\pi R^2$, получим:
$1 = \frac{3\alpha}{360°} \implies \alpha = \frac{360°}{3} = 120°$.
Теперь найдем высоту $h$ шарового сегмента, соответствующую этому углу:
$h = R - R \cos(\frac{\alpha}{2}) = R - R \cos(\frac{120°}{2}) = R - R \cos(60°) = R - R \cdot \frac{1}{2} = \frac{R}{2}$.
Подставим найденное выражение для $h$ в формулу для отношения объемов:
$\frac{V_{сектора}}{V_{шара}} = \frac{h}{2R} = \frac{\frac{R}{2}}{2R} = \frac{R}{2 \cdot 2R} = \frac{R}{4R} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.