Номер 553, страница 164 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

553. Диаметр шара, равный 20 см, разделен на три части в отношении 1 : 4 : 5. Через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные диаметру. Найдите объем получившегося шарового слоя.

По условию, диаметр шара $D = 20$ см. Следовательно, его радиус $R = \frac{D}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

Диаметр разделен на три части в отношении $1:4:5$. Найдем длину каждой части. Сумма частей отношения равна $1+4+5=10$. Длина одной условной части составляет $20 \text{ см} / 10 = 2$ см. Тогда длины отрезков, на которые разделен диаметр, равны:

• Первый отрезок: $1 \cdot 2 = 2$ см.
• Второй отрезок: $4 \cdot 2 = 8$ см.
• Третий отрезок: $5 \cdot 2 = 10$ см.

Проверка: $2 + 8 + 10 = 20$ см.

Через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные диаметру. Эти плоскости отсекают от шара шаровой слой. Высота этого шарового слоя $h$ равна длине среднего отрезка диаметра, то есть $h=8$ см.

Объем шарового слоя вычисляется по формуле $V = \frac{1}{6}\pi h(3r_1^2 + 3r_2^2 + h^2)$, где $h$ — высота слоя, а $r_1$ и $r_2$ — радиусы его оснований (кругов, полученных в сечении).

Для нахождения радиусов оснований $r_1$ и $r_2$ введем систему координат с центром в центре шара. Пусть диаметр лежит на оси Ox, тогда его концы находятся в точках с координатами $(-10, 0)$ и $(10, 0)$. Точки деления будут иметь координаты $x_1 = -10 + 2 = -8$ и $x_2 = -8 + 8 = 0$. Таким образом, шаровой слой ограничен плоскостями $x=-8$ и $x=0$.

Радиус сечения $r$ на расстоянии $x$ от центра шара связан с радиусом шара $R$ соотношением $r^2 = R^2 - x^2$.

Найдем квадрат радиуса первого основания, которое находится в плоскости $x_1=-8$:

$r_1^2 = R^2 - x_1^2 = 10^2 - (-8)^2 = 100 - 64 = 36$ см².

Найдем квадрат радиуса второго основания, которое находится в плоскости $x_2=0$ (плоскость большого круга):

$r_2^2 = R^2 - x_2^2 = 10^2 - 0^2 = 100$ см².

Теперь подставим найденные значения в формулу объема шарового слоя:

$V = \frac{1}{6}\pi h(3r_1^2 + 3r_2^2 + h^2) = \frac{1}{6}\pi \cdot 8 \cdot (3 \cdot 36 + 3 \cdot 100 + 8^2)$.

$V = \frac{4\pi}{3} (108 + 300 + 64) = \frac{4\pi}{3} (472)$.

$V = \frac{1888\pi}{3}$ см³.

Ответ: $\frac{1888\pi}{3}$ см³.