Номер 550, страница 164 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

550. a) Найдите с точностью до 0,01 $m^3$ объем шара, вписанного в равносторонний конус, образующая которого равна 1 $m$.

б) В шар радиуса 3 $dm$ вписан конус, объем которого равен 25\% объема шара. Найдите высоту конуса.

а)

Равносторонний конус — это конус, осевое сечение которого является равносторонним треугольником. Образующая конуса $l$ является стороной этого треугольника. По условию $l=1$ м, следовательно, сторона равностороннего треугольника $a = l = 1$ м.

Шар, вписанный в конус, в осевом сечении представляет собой окружность, вписанную в равносторонний треугольник. Радиус вписанного шара $r_{шара}$ равен одной трети высоты этого треугольника.

Сначала найдем высоту $H$ конуса, которая является высотой равностороннего треугольника со стороной $a=1$ м. По формуле высоты равностороннего треугольника:$H = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ м.

Теперь найдем радиус вписанного шара:$r_{шара} = \frac{1}{3}H = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ м.

Объем шара вычисляется по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r_{шара}^3$. Подставим найденное значение радиуса:$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{3\sqrt{3}}{216} = \frac{4\pi\sqrt{3}}{216} = \frac{\pi\sqrt{3}}{54}$ м³.

Для нахождения численного значения с точностью до 0,01 м³, используем приближенные значения $\pi \approx 3.14159$ и $\sqrt{3} \approx 1.73205$:$V_{шара} \approx \frac{3.14159 \cdot 1.73205}{54} \approx \frac{5.4414}{54} \approx 0.10076...$ м³.

Округляя результат до сотых, получаем $0.10$ м³.

Ответ: $0.10$ м³.

б)

Пусть радиус шара $R = 3$ дм. Найдем объем шара по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$:$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi (3)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi$ дм³.

По условию, объем вписанного конуса $V_{конуса}$ составляет 25% (то есть $\frac{1}{4}$) от объема шара:$V_{конуса} = 0.25 \cdot V_{шара} = \frac{1}{4} \cdot 36\pi = 9\pi$ дм³.

Формула объема конуса: $V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi r^2 H$, где $r$ — радиус основания конуса, а $H$ — его высота. Используя найденный объем, получаем:$\frac{1}{3}\pi r^2 H = 9\pi$, что упрощается до $r^2 H = 27$.

Для конуса, вписанного в шар, существует связь между его размерами ($r, H$) и радиусом шара $R$. Из рассмотрения осевого сечения (прямоугольный треугольник с гипотенузой $R$ и катетами $r$ и $|H-R|$) по теореме Пифагора следует: $r^2 + (H-R)^2 = R^2$.Отсюда выразим $r^2$:$r^2 = R^2 - (H-R)^2 = R^2 - (H^2 - 2HR + R^2) = 2HR - H^2$.

Подставим значение $R=3$ дм:$r^2 = 2 \cdot 3 \cdot H - H^2 = 6H - H^2$.

Теперь подставим это выражение для $r^2$ в уравнение $r^2 H = 27$:$(6H - H^2)H = 27$.$6H^2 - H^3 = 27$, или $H^3 - 6H^2 + 27 = 0$.

Мы получили кубическое уравнение. Его целые корни могут быть среди делителей числа 27. Проверим $H=3$:$3^3 - 6(3^2) + 27 = 27 - 6 \cdot 9 + 27 = 54 - 54 = 0$.Значит, $H_1=3$ является корнем уравнения.

Чтобы найти остальные корни, разделим многочлен $(H^3 - 6H^2 + 27)$ на $(H-3)$, получим $H^2 - 3H - 9$.Решим квадратное уравнение $H^2 - 3H - 9 = 0$ с помощью дискриминанта:$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 9 + 36 = 45$.Корни: $H = \frac{3 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{3 \pm 3\sqrt{5}}{2}$.

Один из корней, $H = \frac{3 - 3\sqrt{5}}{2}$, отрицателен, что невозможно для высоты.Другой корень, $H_2 = \frac{3 + 3\sqrt{5}}{2}$, является положительным. Высота вписанного конуса должна быть в пределах $0 < H < 2R$, то есть $0 < H < 6$.$H_2 \approx \frac{3 + 3 \cdot 2.236}{2} \approx 4.854$ дм, что удовлетворяет этому условию.

Таким образом, задача имеет два возможных решения для высоты конуса.

Ответ: 3 дм или $\frac{3 + 3\sqrt{5}}{2}$ дм.