Номер 558, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

уровень С

558. Основанием прямой призмы, вписанной в шар, является треугольник, две стороны которого равны 4 дм и 14 дм, а угол между ними равен $60^\circ$. Объем призмы равен $168 \text{ дм}^3$. Найдите площадь поверхности шара.

Для решения задачи найдем радиус шара $R$, в который вписана призма. Площадь поверхности шара $S_{шара}$ вычисляется по формуле $S_{шара} = 4\pi R^2$.

1. Найдем площадь основания призмы $S_{осн}$. Основанием является треугольник с двумя сторонами $a = 4$ дм и $b = 14$ дм и углом между ними $\gamma = 60^{\circ}$. Площадь треугольника вычисляется по формуле:$S_{осн} = \frac{1}{2}ab \sin\gamma = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 14 \cdot \sin(60^{\circ}) = 28 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 14\sqrt{3}$ дм².

2. Зная объем призмы $V = 168$ дм³ и площадь ее основания, найдем высоту призмы $H$. Объем прямой призмы равен $V = S_{осн} \cdot H$.$H = \frac{V}{S_{осн}} = \frac{168}{14\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ дм.

3. Для нахождения радиуса шара $R$ нам понадобится радиус $R_{осн}$ окружности, описанной около основания призмы. Найдем сначала третью сторону треугольника $c$ по теореме косинусов:$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\gamma = 4^2 + 14^2 - 2 \cdot 4 \cdot 14 \cdot \cos(60^{\circ}) = 16 + 196 - 112 \cdot \frac{1}{2} = 212 - 56 = 156$.$c = \sqrt{156} = \sqrt{4 \cdot 39} = 2\sqrt{39}$ дм.
Теперь по следствию из теоремы синусов найдем радиус описанной окружности:$R_{осн} = \frac{c}{2\sin\gamma} = \frac{2\sqrt{39}}{2\sin(60^{\circ})} = \frac{2\sqrt{39}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{39}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{13}$ дм.

4. Радиус шара $R$, описанного около прямой призмы, высота призмы $H$ и радиус описанной около основания окружности $R_{осн}$ связаны соотношением (по теореме Пифагора): $R^2 = R_{осн}^2 + (\frac{H}{2})^2$.Подставим найденные значения:$R^2 = (2\sqrt{13})^2 + (\frac{4\sqrt{3}}{2})^2 = (4 \cdot 13) + (2\sqrt{3})^2 = 52 + 12 = 64$.

5. Наконец, вычисляем искомую площадь поверхности шара:$S_{шара} = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 64 = 256\pi$ дм².
Ответ: $256\pi$ дм².