Страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

597. Объем правильной треугольной призмы равен $20\sqrt{3}$ см$^3$. Радиус окружности, описанной около основания призмы, равен $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ см. Найдите высоту призмы.

Объем призмы $V$ вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота призмы. Из этой формулы можно выразить высоту: $H = \frac{V}{S_{осн}}$.

В основании правильной треугольной призмы лежит равносторонний треугольник. Найдем его площадь.

Сначала найдем сторону основания $a$. Радиус $R$ окружности, описанной около равностороннего треугольника, связан с его стороной $a$ формулой:
$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

По условию задачи, радиус $R = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см. Подставим это значение в формулу и выразим сторону $a$:
$\frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{a}{\sqrt{3}}$
$a = \frac{4\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{4 \cdot 3}{3} = 4$ см.

Теперь, зная сторону равностороннего треугольника, мы можем найти его площадь $S_{осн}$ по формуле:
$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим значение $a = 4$ см:
$S_{осн} = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$ см².

Наконец, зная объем призмы $V = 20\sqrt{3}$ см³ и площадь ее основания $S_{осн} = 4\sqrt{3}$ см², мы можем вычислить высоту $H$:
$H = \frac{V}{S_{осн}} = \frac{20\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = 5$ см.

Ответ: 5 см.

598. В наклонном параллелепипеде основание и боковая грань – прямоугольники, их площади соответственно равны $20 \text{ дм}^2$ и $24 \text{ дм}^2$, а угол между их плоскостями $30^\circ$. Другая его боковая грань имеет площадь $15 \text{ дм}^2$. Найдите объем параллелепипеда.

Обозначим данный наклонный параллелепипед как $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где $ABCD$ - его основание. Пусть стороны основания равны $AB = a$ и $AD = b$. По условию, основание является прямоугольником, поэтому его площадь равна:

$S_{осн} = S_{ABCD} = a \cdot b = 20 \text{ дм}^2$.

Одна из боковых граней, например $ABB_1A_1$, также является прямоугольником. Пусть длина бокового ребра равна $AA_1 = l$. Площадь этой грани составляет:

$S_{бок1} = S_{ABB_1A_1} = a \cdot l = 24 \text{ дм}^2$.

То, что грань $ABB_1A_1$ является прямоугольником, означает, что боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно ребру основания $AB$, то есть $AA_1 \perp AB$.

Угол между плоскостью основания $ABCD$ и плоскостью боковой грани $ABB_1A_1$ равен $30^\circ$. Этот угол является двугранным углом при ребре $AB$. Для его измерения построим линейный угол: в точке $A$ к ребру $AB$ проведены два перпендикуляра, лежащие в данных плоскостях. В плоскости основания $ABCD$ это ребро $AD$ (так как основание - прямоугольник, $AD \perp AB$). В плоскости грани $ABB_1A_1$ это ребро $AA_1$ (так как грань - прямоугольник, $AA_1 \perp AB$). Следовательно, угол между плоскостями равен углу между этими рёбрами:

$\angle DAA_1 = 30^\circ$.

Другая боковая грань, смежная с $ABB_1A_1$, это грань $ADD_1A_1$. Эта грань является параллелограммом со сторонами $AD = b$ и $AA_1 = l$ и углом $\angle DAA_1 = 30^\circ$ между ними. По условию, её площадь равна $15 \text{ дм}^2$. Площадь этого параллелограмма вычисляется по формуле:

$S_{бок2} = S_{ADD_1A_1} = AD \cdot AA_1 \cdot \sin(\angle DAA_1) = b \cdot l \cdot \sin(30^\circ)$.

Подставляя известные значения, получаем:

$15 = b \cdot l \cdot \frac{1}{2}$

Отсюда находим произведение $b \cdot l = 30$.

Таким образом, мы получили систему из трёх уравнений с тремя неизвестными $a$, $b$, и $l$:

1. $a \cdot b = 20$

2. $a \cdot l = 24$

3. $b \cdot l = 30$

Разделим уравнение (3) на уравнение (2):

$\frac{b \cdot l}{a \cdot l} = \frac{30}{24} \implies \frac{b}{a} = \frac{5}{4} \implies b = \frac{5}{4}a$.

Подставим это выражение для $b$ в первое уравнение:

$a \cdot (\frac{5}{4}a) = 20$

$\frac{5}{4}a^2 = 20 \implies a^2 = \frac{20 \cdot 4}{5} = 16 \implies a = 4 \text{ дм}$.

Теперь найдём $b$ и $l$:

$b = \frac{5}{4}a = \frac{5}{4} \cdot 4 = 5 \text{ дм}$.

$l = \frac{24}{a} = \frac{24}{4} = 6 \text{ дм}$.

Объём параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $H$ - высота параллелепипеда.

Высота $H$ - это длина перпендикуляра, опущенного из вершины $A_1$ на плоскость основания $ABCD$. Так как боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно ребру $AB$, его проекция на плоскость основания будет перпендикулярна $AB$, то есть будет лежать на прямой $AD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный ребром $AA_1$, его проекцией на плоскость основания (которая лежит на прямой $AD$) и высотой $H$. Угол между ребром $AA_1$ и его проекцией на плоскость основания равен углу $\angle DAA_1 = 30^\circ$. Высота $H$ является катетом, противолежащим этому углу.

$H = AA_1 \cdot \sin(\angle DAA_1) = l \cdot \sin(30^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \text{ дм}$.

Наконец, вычисляем объём параллелепипеда:

$V = S_{осн} \cdot H = 20 \text{ дм}^2 \cdot 3 \text{ дм} = 60 \text{ дм}^3$.

Ответ: $60 \text{ дм}^3$.

599. Из жести вырезан круговой сектор радиусом 18 см и дугой 240°, который свернут в коническую воронку. Сколько целых литров воды вмещает эта воронка?

Для решения задачи необходимо найти объем конической воронки, который вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$, где $r$ – это радиус основания конуса, а $h$ – его высота.

Когда круговой сектор сворачивают в конус, радиус сектора ($R$) становится образующей конуса ($l$), а длина дуги сектора ($L$) становится длиной окружности основания конуса ($C$).

1. Образующая конуса $l$ равна радиусу сектора $R$. По условию $R = 18$ см, значит, $l = 18$ см.

2. Найдем длину дуги сектора $L$. Она вычисляется по формуле $L = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2 \pi R$, где $\alpha = 240°$ – угол сектора.

$L = \frac{240°}{360°} \cdot 2 \pi \cdot 18 = \frac{2}{3} \cdot 36 \pi = 24 \pi$ см.

3. Длина дуги сектора $L$ равна длине окружности основания конуса $C$, которая вычисляется по формуле $C = 2 \pi r$. Отсюда мы можем найти радиус основания конуса $r$.

$2 \pi r = 24 \pi$

$r = \frac{24 \pi}{2 \pi} = 12$ см.

4. Найдем высоту конуса $h$. Образующая $l$, радиус основания $r$ и высота $h$ образуют прямоугольный треугольник, где $l$ – гипотенуза. По теореме Пифагора: $l^2 = r^2 + h^2$.

$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{18^2 - 12^2} = \sqrt{324 - 144} = \sqrt{180}$ см.

Упростим значение высоты: $h = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$ см.

5. Теперь вычислим объем конуса $V$.

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 12^2 \cdot 6\sqrt{5} = \frac{1}{3} \pi \cdot 144 \cdot 6\sqrt{5} = \pi \cdot 144 \cdot 2\sqrt{5} = 288\pi\sqrt{5}$ см³.

6. Переведем объем в литры, чтобы ответить на вопрос задачи. Мы знаем, что 1 литр равен 1000 см³.

$V_{литры} = \frac{288\pi\sqrt{5}}{1000}$.

Для нахождения численного значения используем приближенные значения $\pi \approx 3,1416$ и $\sqrt{5} \approx 2,2361$.

$V \approx \frac{288 \cdot 3,1416 \cdot 2,2361}{1000} \approx \frac{2023,0}{1000} \approx 2,023$ л.

Вопрос задачи: "Сколько целых литров воды вмещает эта воронка?". Так как объем воронки составляет примерно 2,023 литра, она вмещает 2 целых литра воды.

Ответ: 2.

600. Прямоугольная трапеция, основания которой равны $\sqrt{3}$ дм и $4\sqrt{3}$ дм, вращается вокруг ее меньшей боковой стороны. Найдите объем тела вращения, если известно, что большая боковая сторона трапеции составляет с ее меньшим основанием угол $150^\circ$.

При вращении прямоугольной трапеции вокруг ее меньшей боковой стороны, которая является высотой трапеции, образуется усеченный конус. Радиусами оснований этого конуса служат основания трапеции, а его высота равна высоте трапеции.

Пусть даны основания трапеции $b = \sqrt{3}$ дм и $B = 4\sqrt{3}$ дм. Тогда радиусы оснований усеченного конуса равны $r = \sqrt{3}$ дм и $R = 4\sqrt{3}$ дм.

Для нахождения объема тела вращения необходимо определить высоту трапеции $h$, которая будет являться высотой усеченного конуса $H$.

Рассмотрим прямоугольную трапецию $ABCD$, где $AD$ — меньшая боковая сторона (высота), а $AB$ и $DC$ — основания ($AB > DC$). Таким образом, $\angle A = \angle D = 90^\circ$. По условию, большая боковая сторона $BC$ составляет с меньшим основанием $DC$ угол $150^\circ$, то есть $\angle BCD = 150^\circ$.

Проведем из вершины $C$ высоту $CE$ на основание $AB$. Фигура $ADCE$ является прямоугольником, поэтому $CE = AD = h$ и $AE = DC = \sqrt{3}$ дм. Угол $\angle DCE = 90^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CEB$. Длина катета $EB$ равна разности оснований трапеции:$EB = AB - AE = 4\sqrt{3} - \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ дм.

Угол $\angle BCE$ в этом треугольнике можно найти как разность:$\angle BCE = \angle BCD - \angle DCE = 150^\circ - 90^\circ = 60^\circ$.

Теперь из треугольника $CEB$ найдем высоту $h=CE$. Катеты $CE$ и $EB$ связаны через тангенс угла $\angle BCE$:$\tan(\angle BCE) = \frac{EB}{CE}$$\tan(60^\circ) = \frac{3\sqrt{3}}{h}$Так как $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, получаем:$\sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{h}$Отсюда $h=3$ дм. Итак, высота усеченного конуса $H = 3$ дм.

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:$V = \frac{1}{3}\pi H(R^2 + Rr + r^2)$Подставим найденные значения:$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 3 \cdot ((4\sqrt{3})^2 + (4\sqrt{3})(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2)$$V = \pi (16 \cdot 3 + 4 \cdot 3 + 3)$$V = \pi (48 + 12 + 3)$$V = 63\pi$ дм³.

Ответ: $63\pi$ дм³.

601. Около правильной треугольной призмы описан цилиндр. Высота призмы равна 8 см, а диагональ ее боковой грани равна 10 см. Найдите объем цилиндра.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$, где $R$ - радиус основания, а $H$ - высота цилиндра.

Так как цилиндр описан около правильной треугольной призмы, то их высоты равны, а основания призмы вписаны в основания цилиндра. Следовательно, высота цилиндра $H$ равна высоте призмы, то есть $H = 8$ см.

Радиус основания цилиндра $R$ равен радиусу окружности, описанной около правильного треугольника, который является основанием призмы. Для нахождения радиуса сначала найдем сторону этого треугольника, обозначим ее как $a$.

Боковая грань правильной призмы — это прямоугольник со сторонами $a$ (сторона основания) и $H$ (высота призмы). Диагональ этой грани $d$ равна 10 см. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного стороной основания, высотой призмы и диагональю боковой грани, имеем:

$d^2 = a^2 + H^2$

Подставим известные значения:

$10^2 = a^2 + 8^2$

$100 = a^2 + 64$

$a^2 = 100 - 64 = 36$

$a = \sqrt{36} = 6$ см.

Теперь найдем радиус $R$ окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a = 6$ см. Формула для радиуса описанной окружности вокруг правильного треугольника:

$R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

Подставим значение $a$:

$R = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь мы можем вычислить объем цилиндра:

$V = \pi R^2 H = \pi (2\sqrt{3})^2 \cdot 8$

$V = \pi \cdot (4 \cdot 3) \cdot 8$

$V = \pi \cdot 12 \cdot 8$

$V = 96\pi$ см³.

Ответ: $96\pi$ см³.

602. Из деревянного цилиндра, высота которого равна диаметру основания, выточен шар наибольшего радиуса. Сколько процентов материала сточено?

Пусть радиус основания цилиндра равен $r$. Согласно условию задачи, высота цилиндра $h$ равна диаметру его основания $d$. Так как диаметр основания $d = 2r$, то высота цилиндра $h = 2r$.

Объем цилиндра ($V_{цил}$) вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h$. Подставив значение высоты, получим:

$V_{цил} = \pi r^2 (2r) = 2\pi r^3$

Из данного цилиндра выточен шар наибольшего возможного радиуса. Это означает, что шар вписан в цилиндр. Диаметр такого шара равен высоте цилиндра и диаметру его основания, то есть $2r$. Следовательно, радиус шара $R$ равен половине диаметра, то есть $R = r$.

Объем шара ($V_{шар}$) вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. Подставив значение радиуса шара, получим:

$V_{шар} = \frac{4}{3}\pi r^3$

Объем сточенного материала ($V_{сточ}$) равен разности объемов цилиндра и шара:

$V_{сточ} = V_{цил} - V_{шар} = 2\pi r^3 - \frac{4}{3}\pi r^3 = (\frac{6}{3} - \frac{4}{3})\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3$

Чтобы найти, какой процент материала был сточен, необходимо найти отношение объема сточенного материала к первоначальному объему цилиндра и умножить результат на 100%:

$\frac{V_{сточ}}{V_{цил}} \times 100\% = \frac{\frac{2}{3}\pi r^3}{2\pi r^3} \times 100\% = \frac{\frac{2}{3}}{2} \times 100\% = \frac{1}{3} \times 100\% = 33 \frac{1}{3}\%$

Ответ: $33 \frac{1}{3}\%$.