Номер 598, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

598. В наклонном параллелепипеде основание и боковая грань – прямоугольники, их площади соответственно равны $20 \text{ дм}^2$ и $24 \text{ дм}^2$, а угол между их плоскостями $30^\circ$. Другая его боковая грань имеет площадь $15 \text{ дм}^2$. Найдите объем параллелепипеда.

Обозначим данный наклонный параллелепипед как $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где $ABCD$ - его основание. Пусть стороны основания равны $AB = a$ и $AD = b$. По условию, основание является прямоугольником, поэтому его площадь равна:

$S_{осн} = S_{ABCD} = a \cdot b = 20 \text{ дм}^2$.

Одна из боковых граней, например $ABB_1A_1$, также является прямоугольником. Пусть длина бокового ребра равна $AA_1 = l$. Площадь этой грани составляет:

$S_{бок1} = S_{ABB_1A_1} = a \cdot l = 24 \text{ дм}^2$.

То, что грань $ABB_1A_1$ является прямоугольником, означает, что боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно ребру основания $AB$, то есть $AA_1 \perp AB$.

Угол между плоскостью основания $ABCD$ и плоскостью боковой грани $ABB_1A_1$ равен $30^\circ$. Этот угол является двугранным углом при ребре $AB$. Для его измерения построим линейный угол: в точке $A$ к ребру $AB$ проведены два перпендикуляра, лежащие в данных плоскостях. В плоскости основания $ABCD$ это ребро $AD$ (так как основание - прямоугольник, $AD \perp AB$). В плоскости грани $ABB_1A_1$ это ребро $AA_1$ (так как грань - прямоугольник, $AA_1 \perp AB$). Следовательно, угол между плоскостями равен углу между этими рёбрами:

$\angle DAA_1 = 30^\circ$.

Другая боковая грань, смежная с $ABB_1A_1$, это грань $ADD_1A_1$. Эта грань является параллелограммом со сторонами $AD = b$ и $AA_1 = l$ и углом $\angle DAA_1 = 30^\circ$ между ними. По условию, её площадь равна $15 \text{ дм}^2$. Площадь этого параллелограмма вычисляется по формуле:

$S_{бок2} = S_{ADD_1A_1} = AD \cdot AA_1 \cdot \sin(\angle DAA_1) = b \cdot l \cdot \sin(30^\circ)$.

Подставляя известные значения, получаем:

$15 = b \cdot l \cdot \frac{1}{2}$

Отсюда находим произведение $b \cdot l = 30$.

Таким образом, мы получили систему из трёх уравнений с тремя неизвестными $a$, $b$, и $l$:

1. $a \cdot b = 20$

2. $a \cdot l = 24$

3. $b \cdot l = 30$

Разделим уравнение (3) на уравнение (2):

$\frac{b \cdot l}{a \cdot l} = \frac{30}{24} \implies \frac{b}{a} = \frac{5}{4} \implies b = \frac{5}{4}a$.

Подставим это выражение для $b$ в первое уравнение:

$a \cdot (\frac{5}{4}a) = 20$

$\frac{5}{4}a^2 = 20 \implies a^2 = \frac{20 \cdot 4}{5} = 16 \implies a = 4 \text{ дм}$.

Теперь найдём $b$ и $l$:

$b = \frac{5}{4}a = \frac{5}{4} \cdot 4 = 5 \text{ дм}$.

$l = \frac{24}{a} = \frac{24}{4} = 6 \text{ дм}$.

Объём параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $H$ - высота параллелепипеда.

Высота $H$ - это длина перпендикуляра, опущенного из вершины $A_1$ на плоскость основания $ABCD$. Так как боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно ребру $AB$, его проекция на плоскость основания будет перпендикулярна $AB$, то есть будет лежать на прямой $AD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный ребром $AA_1$, его проекцией на плоскость основания (которая лежит на прямой $AD$) и высотой $H$. Угол между ребром $AA_1$ и его проекцией на плоскость основания равен углу $\angle DAA_1 = 30^\circ$. Высота $H$ является катетом, противолежащим этому углу.

$H = AA_1 \cdot \sin(\angle DAA_1) = l \cdot \sin(30^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \text{ дм}$.

Наконец, вычисляем объём параллелепипеда:

$V = S_{осн} \cdot H = 20 \text{ дм}^2 \cdot 3 \text{ дм} = 60 \text{ дм}^3$.

Ответ: $60 \text{ дм}^3$.