Номер 599, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

599. Из жести вырезан круговой сектор радиусом 18 см и дугой 240°, который свернут в коническую воронку. Сколько целых литров воды вмещает эта воронка?

Для решения задачи необходимо найти объем конической воронки, который вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$, где $r$ – это радиус основания конуса, а $h$ – его высота.

Когда круговой сектор сворачивают в конус, радиус сектора ($R$) становится образующей конуса ($l$), а длина дуги сектора ($L$) становится длиной окружности основания конуса ($C$).

1. Образующая конуса $l$ равна радиусу сектора $R$. По условию $R = 18$ см, значит, $l = 18$ см.

2. Найдем длину дуги сектора $L$. Она вычисляется по формуле $L = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2 \pi R$, где $\alpha = 240°$ – угол сектора.

$L = \frac{240°}{360°} \cdot 2 \pi \cdot 18 = \frac{2}{3} \cdot 36 \pi = 24 \pi$ см.

3. Длина дуги сектора $L$ равна длине окружности основания конуса $C$, которая вычисляется по формуле $C = 2 \pi r$. Отсюда мы можем найти радиус основания конуса $r$.

$2 \pi r = 24 \pi$

$r = \frac{24 \pi}{2 \pi} = 12$ см.

4. Найдем высоту конуса $h$. Образующая $l$, радиус основания $r$ и высота $h$ образуют прямоугольный треугольник, где $l$ – гипотенуза. По теореме Пифагора: $l^2 = r^2 + h^2$.

$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{18^2 - 12^2} = \sqrt{324 - 144} = \sqrt{180}$ см.

Упростим значение высоты: $h = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$ см.

5. Теперь вычислим объем конуса $V$.

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 12^2 \cdot 6\sqrt{5} = \frac{1}{3} \pi \cdot 144 \cdot 6\sqrt{5} = \pi \cdot 144 \cdot 2\sqrt{5} = 288\pi\sqrt{5}$ см³.

6. Переведем объем в литры, чтобы ответить на вопрос задачи. Мы знаем, что 1 литр равен 1000 см³.

$V_{литры} = \frac{288\pi\sqrt{5}}{1000}$.

Для нахождения численного значения используем приближенные значения $\pi \approx 3,1416$ и $\sqrt{5} \approx 2,2361$.

$V \approx \frac{288 \cdot 3,1416 \cdot 2,2361}{1000} \approx \frac{2023,0}{1000} \approx 2,023$ л.

Вопрос задачи: "Сколько целых литров воды вмещает эта воронка?". Так как объем воронки составляет примерно 2,023 литра, она вмещает 2 целых литра воды.

Ответ: 2.