Номер 605, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

605. Верно ли, что две плоскости параллельны, если две прямые одной из них соответственно параллельны двум прямым другой?

Нет, данное утверждение не всегда верно. Оно истинно только при выполнении дополнительного условия.

Для того чтобы две плоскости были параллельны, необходимо, чтобы две пересекающиеся прямые одной плоскости были соответственно параллельны двум прямым другой плоскости. В условии задачи не указано, что прямые в первой плоскости пересекаются. Рассмотрим два возможных случая.

1. Две прямые в одной из плоскостей пересекаются.

Пусть в плоскости $ \alpha $ лежат две прямые $ a $ и $ b $, которые пересекаются в точке $ M $ ($ a \cap b = M $). В плоскости $ \beta $ лежат две прямые $ c $ и $ d $. По условию задачи, $ a \parallel c $ и $ b \parallel d $.В этом случае, согласно признаку параллельности двух плоскостей, плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ параллельны ($ \alpha \parallel \beta $). Признак гласит: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.
При данном условии утверждение верно.

2. Две прямые в одной из плоскостей параллельны.

Пусть в плоскости $ \alpha $ лежат две параллельные прямые $ a $ и $ b $ ($ a \parallel b $). В плоскости $ \beta $ лежат прямые $ c $ и $ d $. По условию, $ a \parallel c $ и $ b \parallel d $.
Из свойств параллельных прямых ($ a \parallel b, a \parallel c, b \parallel d $) следует, что все четыре прямые параллельны друг другу: $ a \parallel b \parallel c \parallel d $.
В этом случае плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ не обязательно будут параллельны. Они могут пересекаться. Приведем контрпример.

Возьмем две плоскости $ \alpha $ и $ \beta $, которые пересекаются по прямой $ l $. Например, две смежные грани куба или две страницы раскрытой книги.

В плоскости $ \alpha $ проведем две различные прямые $ a $ и $ b $, параллельные их линии пересечения $ l $. Таким образом, $ a \subset \alpha, b \subset \alpha, a \parallel l, b \parallel l $. Из этого следует, что $ a \parallel b $.

Аналогично в плоскости $ \beta $ проведем две различные прямые $ c $ и $ d $, параллельные линии пересечения $ l $. Таким образом, $ c \subset \beta, d \subset \beta, c \parallel l, d \parallel l $. Из этого следует, что $ c \parallel d $.

Мы получили, что прямая $ a $ из плоскости $ \alpha $ параллельна прямой $ c $ из плоскоosti $ \beta $ (так как обе параллельны $ l $). Также прямая $ b $ из плоскости $ \alpha $ параллельна прямой $ d $ из плоскости $ \beta $ (так как обе параллельны $ l $).Таким образом, все условия задачи выполнены. Однако плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ по нашему построению не параллельны, а пересекаются.

Поскольку существует случай, когда утверждение неверно, то и в общем виде оно считается неверным.

Ответ: Нет, не верно. Утверждение будет верным только в том случае, если две прямые в одной из плоскостей являются пересекающимися. Если же эти прямые параллельны, то плоскости могут как быть параллельными, так и пересекаться.