Номер 610, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

610. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания равна $4\sqrt{3}$ см, а боковое ребро $- 3\sqrt{3}$ см. Через ребро $AB$ и середину стороны $A_1C_1$ проведена плоскость. Найдите угол наклона этой плоскости к основанию призмы и площадь сечения.

Дано: правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.
Сторона основания $a = AB = BC = AC = 4\sqrt{3}$ см.
Боковое ребро $h = AA_1 = 3\sqrt{3}$ см.
Сечение проходит через ребро $AB$ и середину стороны $A_1C_1$. Обозначим середину $A_1C_1$ как точку $M$. Таким образом, сечение является треугольником $ABM$.

Найдем угол наклона этой плоскости к основанию призмы

Угол наклона плоскости сечения $(ABM)$ к плоскости основания $(ABC)$ — это двугранный угол между этими плоскостями. Линией пересечения этих плоскостей является ребро $AB$. Величина двугранного угла измеряется величиной его линейного угла. Для построения линейного угла найдем высоту треугольника сечения $MH$, проведенную к стороне $AB$, и рассмотрим ее проекцию на плоскость основания.

1. Пусть $M'$ — проекция точки $M$ на плоскость основания $(ABC)$. Так как призма правильная, она является прямой, и боковые ребра перпендикулярны основаниям. Следовательно, $M'$ будет серединой стороны $AC$. Длина отрезка $MM'$ равна высоте призмы: $MM' = AA_1 = 3\sqrt{3}$ см.

2. Проведем в плоскости сечения высоту $MH$ к стороне $AB$. Проекцией наклонной $MH$ на плоскость основания будет отрезок $M'H$. Угол наклона плоскости сечения к плоскости основания — это угол $\angle MHM'$, который мы обозначим как $\alpha$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $MM'H$. Угол $\angle MM'H = 90^\circ$. Тангенс искомого угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета $MM'$ к прилежащему катету $M'H$: $ \tan(\alpha) = \frac{MM'}{M'H} $.

4. Найдем длину катета $M'H$. $M'H$ — это расстояние от точки $M'$ (середины $AC$) до прямой $AB$. В равностороннем треугольнике $ABC$ проведем высоту $CK$ к стороне $AB$. $K$ — середина $AB$. Длина высоты $CK$ равна: $ CK = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6 $ см.

Так как $M'$ — середина $AC$, то отрезок $M'H$, будучи перпендикуляром к $AB$, параллелен $CK$. В треугольнике $ACK$, $M'H$ является средней линией (по теореме Фалеса, так как $M'$ — середина $AC$ и $M'H \parallel CK$). Следовательно: $ M'H = \frac{1}{2} CK = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3 $ см.

5. Теперь найдем тангенс угла $\alpha$: $ \tan(\alpha) = \frac{MM'}{M'H} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} $. Отсюда следует, что угол $\alpha = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

Найдем площадь сечения

Площадь сечения — это площадь треугольника $ABM$. Она вычисляется по формуле: $ S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot MH $.

1. Сторона $AB$ нам известна: $AB = 4\sqrt{3}$ см.

2. Высоту $MH$ найдем из прямоугольного треугольника $MM'H$ по теореме Пифагора: $ MH^2 = (MM')^2 + (M'H)^2 $. Мы уже нашли, что $MM' = 3\sqrt{3}$ см и $M'H = 3$ см. $ MH^2 = (3\sqrt{3})^2 + 3^2 = 27 + 9 = 36 $. $ MH = \sqrt{36} = 6 $ см.

3. Теперь вычислим площадь сечения: $ S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 6 = 12\sqrt{3} $ см$^2$.

Альтернативный способ: Площадь сечения ($S_{сеч}$) связана с площадью его ортогональной проекции ($S_{про}$) и углом наклона ($\alpha$) формулой $S_{сеч} = \frac{S_{про}}{\cos(\alpha)}$. Проекцией сечения $ABM$ на основание является треугольник $ABM'$. Найдем его площадь: $ S_{про} = S_{ABM'} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot M'H = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 3 = 6\sqrt{3} $ см$^2$. Угол наклона $\alpha = 60^\circ$, $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$. $ S_{сеч} = \frac{6\sqrt{3}}{1/2} = 12\sqrt{3} $ см$^2$. Результаты совпадают.

Ответ: $12\sqrt{3}$ см$^2$