Номер 606, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

606. Сторона правильного треугольника лежит в некоторой плоскости.

Может ли быть перпендикулярна этой плоскости:

а) другая его сторона;

б) медиана треугольника?

Пусть дан правильный (равносторонний) треугольник $ABC$ и плоскость $\alpha$. По условию, одна из его сторон, например $AB$, лежит в плоскости $\alpha$.

а)

Предположим, что другая сторона треугольника, например $AC$, перпендикулярна плоскости $\alpha$.

По определению прямой, перпендикулярной плоскости, прямая $AC$ должна быть перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$ и проходящей через точку их пересечения $A$.

Сторона $AB$ является прямой, которая лежит в плоскости $\alpha$ и проходит через точку $A$. Следовательно, если $AC \perp \alpha$, то должно выполняться условие $AC \perp AB$.

Это означает, что угол между сторонами $AC$ и $AB$, то есть $\angle CAB$, должен быть прямым ($\angle CAB = 90^\circ$).

Однако, по условию, треугольник $ABC$ является правильным, а все углы в правильном треугольнике равны $60^\circ$. Таким образом, $\angle CAB = 60^\circ$.

Полученное противоречие ($60^\circ \neq 90^\circ$) доказывает, что наше предположение неверно. Следовательно, другая сторона правильного треугольника не может быть перпендикулярна плоскости, в которой лежит первая сторона.

Ответ: нет, не может.

б)

Да, медиана треугольника может быть перпендикулярна этой плоскости. Рассмотрим медиану, проведенную к стороне, которая лежит в плоскости $\alpha$.

Пусть $CM$ — медиана, проведенная из вершины $C$ к стороне $AB$. Покажем, что возможна ситуация, когда $CM \perp \alpha$.

Пусть сторона правильного треугольника равна $a$. Тогда $AB = a$. Длина медианы (которая в правильном треугольнике является и высотой), проведенной к стороне $a$, вычисляется по формуле: $m = \sqrt{a^2 - (a/2)^2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Мы можем построить такую конфигурацию: в плоскости $\alpha$ возьмем отрезок $AB$ длиной $a$. В его середине, точке $M$, восстановим перпендикуляр к плоскости $\alpha$ и отложим на нем отрезок $MC$ длиной $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Соединив точки $A$, $B$ и $C$, получим треугольник $ABC$.

В этом треугольнике сторона $AB = a$. Поскольку $CM \perp \alpha$ по построению, то $CM$ перпендикулярна любой прямой в плоскости $\alpha$, проходящей через $M$. Значит, $\triangle AMC$ и $\triangle BMC$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $M$.

По теореме Пифагора для этих треугольников:

$AC^2 = AM^2 + MC^2 = (a/2)^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} = a^2$, откуда $AC=a$.

$BC^2 = BM^2 + MC^2 = (a/2)^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} = a^2$, откуда $BC=a$.

Так как $AB = AC = BC = a$, построенный треугольник $ABC$ является правильным. При этом его сторона $AB$ лежит в плоскости $\alpha$, а медиана $CM$ перпендикулярна этой плоскости. Следовательно, такая ситуация возможна.

Заметим, что медианы, проведенные из вершин $A$ или $B$, не могут быть перпендикулярны плоскости $\alpha$, так как это привело бы к противоречию (аналогично пункту а)).

Ответ: да, может (а именно, медиана, проведенная к стороне, которая лежит в данной плоскости).