Номер 609, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

609. Отрезок $AB$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $O$. Прямые $AD$ и $BC$ перпендикулярны этой плоскости и пересекают ее в точках $D$ и $C$ соответственно. Найдите длину отрезка $AB$, если $AD = 6$ см, $BC = 2$ см, $OC = 1,5$ см.

Поскольку прямые $AD$ и $BC$ перпендикулярны одной и той же плоскости $\alpha$, они параллельны друг другу: $AD \parallel BC$.

Так как прямые $AD$ и $BC$ параллельны, то через них можно провести единственную плоскость. Отрезок $AB$, соединяющий точки на этих прямых, также лежит в этой плоскости. Таким образом, точки $A, B, C, D$ лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $DC$. Точка $O$ является точкой пересечения отрезка $AB$ с плоскостью $\alpha$, следовательно, точка $O$ лежит на прямой $DC$, и точки $D, O, C$ коллинеарны.

Рассмотрим треугольники $\triangle ADO$ и $\triangle BCO$.

По условию, $AD \perp \alpha$ и $BC \perp \alpha$. Прямая $DC$ лежит в плоскости $\alpha$, поэтому $AD \perp DC$ и $BC \perp DC$. Это означает, что $\angle ADO = 90^\circ$ и $\angle BCO = 90^\circ$. Следовательно, треугольники $\triangle ADO$ и $\triangle BCO$ являются прямоугольными.

Углы $\angle AOD$ и $\angle BOC$ равны как вертикальные. Так как прямоугольные треугольники имеют по равному острому углу, они подобны. Таким образом, $\triangle ADO \sim \triangle BCO$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$ \frac{AD}{BC} = \frac{DO}{CO} = \frac{AO}{BO} $

Подставим известные значения ($AD = 6$ см, $BC = 2$ см, $OC = 1,5$ см) в пропорцию, чтобы найти длину отрезка $DO$:

$ \frac{6}{2} = \frac{DO}{1,5} $

$ 3 = \frac{DO}{1,5} $

$ DO = 3 \cdot 1,5 = 4,5 $ см.

Теперь найдем длины гипотенуз $BO$ и $AO$ в прямоугольных треугольниках $\triangle BCO$ и $\triangle ADO$ по теореме Пифагора.

В $\triangle BCO$:

$ BO = \sqrt{BC^2 + OC^2} = \sqrt{2^2 + (1,5)^2} = \sqrt{4 + 2,25} = \sqrt{6,25} = 2,5 $ см.

В $\triangle ADO$:

$ AO = \sqrt{AD^2 + DO^2} = \sqrt{6^2 + (4,5)^2} = \sqrt{36 + 20,25} = \sqrt{56,25} = 7,5 $ см.

Длина отрезка $AB$ равна сумме длин отрезков $AO$ и $BO$, так как точка $O$ лежит на отрезке $AB$:

$ AB = AO + BO = 7,5 + 2,5 = 10 $ см.

Ответ: 10 см.