Номер 614, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

614. Найдите все значения m, при которых векторы $\vec{a}(m; 4; 2)$ и $\vec{b}(m+2; 6; 3)$:

а) коллинеарны;

б) компланарны;

в) перпендикулярны.

а) коллинеарны
Два вектора коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. Для векторов $\vec{a}(m; 4; 2)$ и $\vec{b}(m+2; 6; 3)$ условие коллинеарности можно записать в виде пропорции:
$\frac{m}{m+2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
Равенство $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ является верным. Теперь решим уравнение, приравняв первую дробь к остальным:
$\frac{m}{m+2} = \frac{2}{3}$
Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:
$3 \cdot m = 2 \cdot (m+2)$
$3m = 2m + 4$
$3m - 2m = 4$
$m = 4$
Ответ: $m=4$.

б) компланарны
Любые два вектора в трехмерном пространстве всегда являются компланарными. Это означает, что всегда можно найти плоскость, в которой лежат оба вектора. Если векторы не коллинеарны, они сами определяют такую плоскость. Если они коллинеарны, они лежат на одной прямой, а через любую прямую можно провести бесконечное множество плоскостей. Так как заданные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ существуют при любом действительном значении $m$, они будут компланарны для любого $m$.
Ответ: при любом значении $m$.

в) перпендикулярны
Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2; z_2)$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.
Для наших векторов $\vec{a}(m; 4; 2)$ и $\vec{b}(m+2; 6; 3)$ условие перпендикулярности выглядит так:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = m \cdot (m+2) + 4 \cdot 6 + 2 \cdot 3 = 0$
Решим полученное уравнение:
$m^2 + 2m + 24 + 6 = 0$
$m^2 + 2m + 30 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 4 - 120 = -116$
Поскольку дискриминант $D < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что не существует такого значения $m$, при котором скалярное произведение векторов было бы равно нулю.
Ответ: таких значений $m$ не существует.