Номер 618, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

618. В шар вписан конус, радиус основания которого равен $r$, а высота $h$.
Найдите радиус $R$ шара.

Рассмотрим осевое сечение шара и вписанного в него конуса. Сечением шара является большая окружность радиуса $R$, а сечением конуса — равнобедренный треугольник, вписанный в эту окружность. Высота этого треугольника равна высоте конуса $h$, а половина его основания равна радиусу основания конуса $r$.

Пусть $O$ — центр шара, который также является центром окружности, описанной около равнобедренного треугольника. Центр $O$ лежит на оси конуса, которая является высотой треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный:
1. Радиусом шара $R$ (гипотенуза), проведенным из центра шара к одной из вершин основания равнобедренного треугольника (т.е. к точке на окружности основания конуса).
2. Радиусом основания конуса $r$ (один катет).
3. Отрезком на оси конуса, соединяющим центр шара $O$ с центром основания конуса (второй катет).

Длина второго катета равна расстоянию от центра шара до основания конуса. Это расстояние можно выразить через высоту конуса $h$ и радиус шара $R$. Вершина конуса находится на расстоянии $R$ от центра шара $O$. Высота конуса $h$ откладывается от этой вершины вдоль оси. Таким образом, расстояние от центра шара $O$ до центра основания конуса равно $|h - R|$.

Применим теорему Пифагора к этому прямоугольному треугольнику:
$R^2 = r^2 + (h - R)^2$

Раскроем скобки в правой части уравнения:
$R^2 = r^2 + h^2 - 2hR + R^2$

Сократим $R^2$ в обеих частях уравнения:
$0 = r^2 + h^2 - 2hR$

Перенесем член, содержащий $R$, в левую часть:
$2hR = r^2 + h^2$

Теперь выразим радиус шара $R$:
$R = \frac{r^2 + h^2}{2h}$

Ответ: $R = \frac{r^2 + h^2}{2h}$