Номер 623, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

623. Покажите, как можно вырезать развертку поверхности правильной четырехугольной пирамиды, все ребра которой равны 1 дм, из квадратного листа картона со стороной, равной 2 дм. Чему равна площадь полной поверхности этой пирамиды?

Покажите, как можно вырезать развертку поверхности правильной четырехугольной пирамиды, все ребра которой равны 1 дм, из квадратного листа картона со стороной, равной 2 дм

Развертка поверхности данной правильной четырехугольной пирамиды состоит из одного квадрата (основание) и четырех равносторонних треугольников (боковые грани). Поскольку все ребра пирамиды равны 1 дм, то сторона квадрата-основания равна 1 дм, и стороны треугольников-граней также равны 1 дм.

Стандартная развертка такой пирамиды имеет форму креста: центральный квадрат, к каждой стороне которого примыкает треугольник. Найдем габаритные размеры этой фигуры. Высота равностороннего треугольника со стороной $a=1$ дм вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ дм.

Если расположить развертку так, чтобы ее оси были параллельны сторонам листа картона, то ее полная ширина и высота составят $1 + 2 \cdot h = 1 + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 + \sqrt{3}$ дм.

Приближенное значение: $1 + \sqrt{3} \approx 1 + 1.732 = 2.732$ дм. Это больше стороны листа картона (2 дм), поэтому при таком расположении развертка не поместится.

Однако развертку можно разместить на листе, повернув ее на 45°. При таком диагональном расположении максимальный габаритный размер развертки составит $\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \approx \frac{2.732}{1.414} \approx 1.932$ дм. Поскольку $1.932 < 2$, развертка помещается на листе картона.

Таким образом, алгоритм вырезания следующий:
1. Находим центр квадратного листа картона 2х2 дм.
2. В центре листа чертим квадрат-основание со стороной 1 дм так, чтобы его диагонали были параллельны сторонам листа (то есть квадрат повернут на 45°).
3. На каждой стороне этого квадрата строим наружу равносторонний треугольник со стороной 1 дм.
4. Вырезаем полученную крестообразную фигуру по внешнему контуру.

Ответ: Крестообразную развертку пирамиды можно вырезать, если расположить ее на листе картона диагонально (повернув на 45° относительно краев листа).

Чему равна площадь полной поверхности этой пирамиды?

Площадь полной поверхности пирамиды ($S_{\text{полн}}$) складывается из площади основания ($S_{\text{осн}}$) и площади боковой поверхности ($S_{\text{бок}}$).
$S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}$

1. Площадь основания. Основание — это квадрат со стороной $a = 1$ дм. Его площадь:
$S_{\text{осн}} = a^2 = 1^2 = 1$ дм$^2$.

2. Площадь боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из четырех одинаковых равносторонних треугольников со стороной $a = 1$ дм. Площадь одного такого треугольника ($S_{\triangle}$) равна:
$S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{1^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ дм$^2$.

Площадь всей боковой поверхности — это сумма площадей четырех треугольников:
$S_{\text{бок}} = 4 \cdot S_{\triangle} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$ дм$^2$.

3. Площадь полной поверхности. Сложим площади основания и боковой поверхности:
$S_{\text{полн}} = 1 + \sqrt{3}$ дм$^2$.

Ответ: $1 + \sqrt{3}$ дм$^2$.