Номер 629, страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

629. В правильную четырехугольную пирамиду, объем которой равен $96 \text{ см}^3$, вписан шар. Найдите высоту и сторону основания пирамиды, если радиус шара равен $2 \text{ см}$.

Пусть $H$ — высота правильной четырехугольной пирамиды, а $a$ — сторона ее основания.Объем пирамиды $V$ вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} a^2 H$.По условию задачи $V = 96 \text{ см}^3$, следовательно, получаем первое уравнение:$\frac{1}{3} a^2 H = 96$, откуда $a^2 H = 288$.

Для нахождения второго уравнения воспользуемся тем фактом, что в пирамиду вписан шар радиуса $r=2 \text{ см}$. Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через ее вершину и апофемы (высоты боковых граней) противоположных граней. Это сечение является равнобедренным треугольником с основанием $a$ и высотой $H$. Вписанный в пирамиду шар в этом сечении будет выглядеть как круг радиуса $r=2 \text{ см}$, вписанный в этот треугольник.Связь между радиусом вписанного шара $r$, высотой пирамиды $H$ и стороной основания $a$ можно найти из подобия треугольников в этом сечении. Эта связь выражается формулой:$a^2 = \frac{4r^2H}{H-2r}$.Подставляя $r=2 \text{ см}$, получаем:$a^2 = \frac{4 \cdot 2^2 \cdot H}{H - 2 \cdot 2} = \frac{16H}{H-4}$.Геометрический смысл этого соотношения заключается в том, что высота пирамиды $H$ должна быть больше диаметра вписанного шара, то есть $H > 2r = 4$.

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:$a^2 H = 288$$a^2 = \frac{16H}{H-4}$Подставив второе уравнение в первое, получим уравнение для $H$:$\frac{16H}{H-4} \cdot H = 288$$16H^2 = 288(H-4)$Разделив обе части на 16, получаем:$H^2 = 18(H-4)$$H^2 - 18H + 72 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $H$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72 = 324 - 288 = 36$.Корни уравнения:$H_1 = \frac{18 + \sqrt{36}}{2} = \frac{18+6}{2} = 12$$H_2 = \frac{18 - \sqrt{36}}{2} = \frac{18-6}{2} = 6$Оба значения удовлетворяют условию $H > 4$.

Найдем соответствующие значения стороны основания $a$ для каждого из найденных значений высоты $H$, используя уравнение $a^2 = 288/H$:
1. Если $H = 12 \text{ см}$, то $a^2 = \frac{288}{12} = 24$, откуда $a = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \text{ см}$.
2. Если $H = 6 \text{ см}$, то $a^2 = \frac{288}{6} = 48$, откуда $a = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \text{ см}$.
Таким образом, условиям задачи удовлетворяют две пирамиды.
Ответ: высота 12 см, сторона основания $2\sqrt{6}$ см; или высота 6 см, сторона основания $4\sqrt{3}$ см.