Номер 628, страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

628. Найдите площадь сферы, вписанной в конус, образующая которого равна 9 см и наклонена к основанию под углом $30^\circ$.

Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле $S = 4\pi r^2$, где $r$ – радиус сферы. Для решения задачи необходимо найти радиус сферы, вписанной в конус.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник, а сечение вписанной сферы — это окружность, вписанная в этот треугольник. Радиус этой окружности равен радиусу $r$ вписанной сферы.

Пусть образующая конуса $L = 9$ см, высота — $H$, радиус основания — $R$. Угол наклона образующей к плоскости основания равен $30^\circ$. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой $H$, радиусом $R$ и образующей $L$ (которая является гипотенузой), найдем высоту конуса $H$:
$H = L \cdot \sin(30^\circ) = 9 \cdot \frac{1}{2} = 4.5$ см.

Центр вписанной сферы $O'$ лежит на высоте конуса $SO$. Проведем из центра сферы радиус $r$ в точку касания $K$ с образующей $SA$. Получим прямоугольный треугольник $SO'K$, где $O'K = r$. Угол при вершине конуса в осевом сечении можно найти из треугольника $SOA$. Угол $\angle OSA = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $SO'K$ гипотенуза $SO'$ равна разности высоты конуса и радиуса сферы: $SO' = H - r = 4.5 - r$.
Используя тригонометрическое соотношение, получаем:
$\sin(\angle KSO') = \frac{O'K}{SO'}$
$\sin(60^\circ) = \frac{r}{4.5 - r}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{r}{4.5 - r}$

Решим полученное уравнение для нахождения $r$:
$\sqrt{3}(4.5 - r) = 2r$
$4.5\sqrt{3} - r\sqrt{3} = 2r$
$4.5\sqrt{3} = r(2 + \sqrt{3})$
$r = \frac{4.5\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2 - \sqrt{3})$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:
$r = \frac{4.5\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{4.5(2\sqrt{3} - 3)}{4 - 3} = 4.5(2\sqrt{3} - 3) = \frac{9}{2}(2\sqrt{3} - 3)$ см.

Теперь вычислим площадь поверхности сферы, подставив найденное значение радиуса в формулу $S = 4\pi r^2$:
$S = 4\pi \left(\frac{9(2\sqrt{3} - 3)}{2}\right)^2 = 4\pi \frac{81(2\sqrt{3} - 3)^2}{4}$
$S = 81\pi (2\sqrt{3} - 3)^2$
Раскроем квадрат разности: $(2\sqrt{3} - 3)^2 = (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 3 + 3^2 = 12 - 12\sqrt{3} + 9 = 21 - 12\sqrt{3}$.
$S = 81\pi (21 - 12\sqrt{3})$
Вынесем общий множитель 3 за скобки:
$S = 81\pi \cdot 3(7 - 4\sqrt{3}) = 243\pi(7 - 4\sqrt{3})$ см$^2$.

Ответ: $243\pi(7 - 4\sqrt{3})$ см$^2$.