Страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

624. В основании конуса вписан квадрат со стороной 10 см. Сечение конуса плоскостью, проходящей через сторону квадрата и вершину конуса, имеет угол при вершине 60°. Найдите площадь боковой поверхности этого конуса.

Пусть в основание конуса вписан квадрат $ABCD$ со стороной $a=10$ см. Сечение конуса плоскостью, проходящей через сторону квадрата, например $AB$, и вершину конуса $S$, является равнобедренным треугольником $SAB$. В этом треугольнике боковые стороны $SA$ и $SB$ являются образующими конуса, а основание $AB$ - стороной квадрата.

По условию, угол при вершине этого треугольника $\angle ASB = 60°$. Так как треугольник $SAB$ равнобедренный ($SA=SB$), то углы при основании равны: $\angle SAB = \angle SBA = (180° - 60°)/2 = 60°$. Следовательно, треугольник $SAB$ является равносторонним, и все его стороны равны.

Таким образом, образующая конуса $l$ равна стороне квадрата: $l = SA = SB = AB = 10$ см.

Теперь найдем радиус основания конуса $R$. Квадрат $ABCD$ вписан в окружность, являющуюся основанием конуса. Диаметр этой окружности $D$ равен диагонали квадрата $d$.

Найдем диагональ квадрата по теореме Пифагора:$d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$ см.

Радиус основания конуса $R$ равен половине диаметра:$R = D/2 = d/2 = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$ см.

Площадь боковой поверхности конуса $S_{бок}$ вычисляется по формуле:$S_{бок} = \pi R l$.

Подставим найденные значения $R$ и $l$:$S_{бок} = \pi \cdot (5\sqrt{2}) \cdot 10 = 50\sqrt{2}\pi$ см².

Ответ: $50\sqrt{2}\pi$ см².

625. Высшей точкой Казахстана является пик Хан-Тенгри (горы Тянь-Шань). Какова его высота, если она выражается в метрах тем же числом, что и объем тетраэдра в $м^3$, боковые ребра которого перпендикулярны и равны 5 м, 6 м и 1339 м?

Пик Хан-Тенгри,
Алматинская область

Для того чтобы найти высоту пика Хан-Тенгри, необходимо вычислить объем тетраэдра, описанного в условии. Высота пика в метрах численно равна объему тетраэдра в кубических метрах.

У тетраэдра есть три взаимно перпендикулярных боковых ребра, выходящих из одной вершины. Такой тетраэдр можно рассматривать как пирамиду, в основании которой лежит прямоугольный треугольник, образованный двумя из этих ребер, а третье ребро является высотой пирамиды.

Объем пирамиды вычисляется по формуле:$V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота.

Пусть длины взаимно перпендикулярных ребер равны $a = 5$ м, $b = 6$ м и $c = 1339$ м.Возьмем в качестве основания прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$. Его площадь равна:$S_{осн} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 = 15$ м².

Высотой пирамиды будет третье ребро $c = 1339$ м, так как оно перпендикулярно плоскости основания.Теперь можем вычислить объем:$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 15 \cdot 1339 = 5 \cdot 1339 = 6695$ м³.

Для тетраэдра с тремя взаимно перпендикулярными ребрами $a, b, c$, выходящими из одной вершины, существует также прямая формула для вычисления объема:$V = \frac{1}{6}abc$.

Подставим в нее данные значения:$V = \frac{1}{6} \cdot 5 \cdot 6 \cdot 1339 = \frac{30}{6} \cdot 1339 = 5 \cdot 1339 = 6695$ м³.

По условию, высота пика Хан-Тенгри в метрах численно равна объему тетраэдра в м³.Следовательно, высота пика составляет 6695 метров.

Ответ: 6695 м.

626. Основание пирамиды $DABC - \triangle ABC$, в котором $AB = AC = 25$ см, $BC = 40$ см. Грань $BCD$ перпендикулярна основанию. Расстояние от основания высоты $DM$ пирамиды до грани $ACD$ равно $6\sqrt{2}$ см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

1. Анализ основания и геометрии пирамиды.

Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник $ABC$ со сторонами $AB = AC = 25$ см и $BC = 40$ см. Проведем высоту $AK$ к основанию $BC$ в треугольнике $ABC$. Так как треугольник равнобедренный, $AK$ является также медианой, поэтому $K$ – середина $BC$, и $BK = KC = BC/2 = 40/2 = 20$ см. Из прямоугольного треугольника $AKC$ по теореме Пифагора найдем высоту $AK$: $AK = \sqrt{AC^2 - KC^2} = \sqrt{25^2 - 20^2} = \sqrt{625 - 400} = \sqrt{225} = 15$ см.

По условию, грань $BCD$ перпендикулярна плоскости основания $ABC$. Высота пирамиды $DM$ опущена из вершины $D$ на плоскость основания. Так как $D$ лежит в плоскости $BCD$ и $DM \perp (ABC)$, то основание высоты $M$ должно лежать на линии пересечения плоскостей, то есть на прямой $BC$. Таким образом, высота пирамиды $DM$ является также высотой треугольника $BCD$, проведенной к стороне $BC$. Обозначим высоту пирамиды $H = DM$.

2. Нахождение высоты пирамиды.

Для нахождения расстояния от точки $M$ до плоскости грани $ACD$ используем метод перпендикуляров. Проведем из точки $M$ в плоскости основания перпендикуляр $MP$ к прямой $AC$. Так как $DM \perp (ABC)$, то $DM \perp AC$. Поскольку прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $DM$ и $MP$ в плоскости $DMP$, то $AC \perp (DMP)$. Следовательно, плоскость $ACD$ перпендикулярна плоскости $DMP$. Расстояние от точки $M$ до плоскости $ACD$ – это длина перпендикуляра $MQ$, опущенного из $M$ на линию пересечения этих плоскостей, то есть на прямую $DP$. Таким образом, $MQ \perp DP$, и по условию $MQ = 6\sqrt{2}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $DMP$ (угол $DMP = 90^\circ$). $DM = H$ – высота пирамиды, $MP$ – расстояние от $M$ до $AC$. $MQ$ – высота, проведенная к гипотенузе $DP$. Для такого треугольника справедливо соотношение: $ \frac{1}{MQ^2} = \frac{1}{DM^2} + \frac{1}{MP^2} $

Найдем длину $MP$. В плоскости основания рассмотрим треугольники $MPC$ и $AKC$. Они оба прямоугольные ($\angle MPC = \angle AKC = 90^\circ$) и имеют общий угол $C$. Следовательно, $\triangle MPC \sim \triangle AKC$. Из подобия следует: $\frac{MP}{AK} = \frac{MC}{AC}$. Отсюда $MP = \frac{AK \cdot MC}{AC} = \frac{15 \cdot MC}{25} = \frac{3}{5}MC$.

Подставим все в формулу для высоты: $ \frac{1}{(6\sqrt{2})^2} = \frac{1}{H^2} + \frac{1}{(\frac{3}{5}MC)^2} \implies \frac{1}{72} = \frac{1}{H^2} + \frac{25}{9 \cdot MC^2} $

Так как в условии не дано положение точки $M$ на $BC$, а задача должна иметь единственное решение, следует предположить симметричность конструкции относительно плоскости $ADK$ (где $K$ - середина $BC$), что обусловлено равнобедренным треугольником в основании. В этом случае точка $M$ совпадает с точкой $K$. Тогда $MC = KC = 20$ см. Подставим это значение: $ \frac{1}{72} = \frac{1}{H^2} + \frac{25}{9 \cdot 20^2} = \frac{1}{H^2} + \frac{25}{9 \cdot 400} = \frac{1}{H^2} + \frac{1}{9 \cdot 16} = \frac{1}{H^2} + \frac{1}{144} $ $ \frac{1}{H^2} = \frac{1}{72} - \frac{1}{144} = \frac{2}{144} - \frac{1}{144} = \frac{1}{144} $ $ H^2 = 144 \implies H = 12 $ см.

3. Вычисление площади боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей граней $BCD$, $ACD$ и $ABD$. $S_{бок} = S_{BCD} + S_{ACD} + S_{ABD}$.

Площадь грани BCD: Эта грань является треугольником с основанием $BC=40$ см и высотой $DM=DK=H=12$ см. $ S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot H = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 12 = 240 $ см².

Площади граней ACD и ABD: Поскольку $M=K$, пирамида симметрична, и грани $ACD$ и $ABD$ равны, их площади также равны. Найдем площадь $S_{ACD}$. $S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DP$, где $DP$ - апофема (высота грани $ACD$, проведенная к стороне $AC$). $DP$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $DKP$, где $DK = H = 12$ см. Найдем катет $KP$. Так как $M=K$, то $MP=KP$. Из подобия $\triangle KPC \sim \triangle AKC$: $ KP = \frac{AK \cdot KC}{AC} = \frac{15 \cdot 20}{25} = 12 $ см. Теперь по теореме Пифагора для $\triangle DKP$: $ DP = \sqrt{DK^2 + KP^2} = \sqrt{12^2 + 12^2} = \sqrt{144 + 144} = \sqrt{2 \cdot 144} = 12\sqrt{2} $ см. Теперь найдем площадь грани $ACD$: $ S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DP = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 12\sqrt{2} = 150\sqrt{2} $ см². Так как $S_{ABD} = S_{ACD}$, то $S_{ABD} = 150\sqrt{2}$ см².

Общая площадь боковой поверхности: $ S_{бок} = S_{BCD} + S_{ACD} + S_{ABD} = 240 + 150\sqrt{2} + 150\sqrt{2} = 240 + 300\sqrt{2} $ см².

Ответ: $240 + 300\sqrt{2}$ см².

627. Расстояние от центра сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды, до ее основания в 2 раза меньше радиуса сферы (рисунок 187). Найдите угол между боковым ребром и высотой пирамиды.

a)

б)

Рисунок 187

Пусть $PABC$ – данная правильная треугольная пирамида, $PH$ – ее высота, где $H$ – центр основания $ABC$. Пусть сфера с центром $O$ и радиусом $R$ описана около этой пирамиды. Угол, который необходимо найти, – это угол между боковым ребром (например, $PA$) и высотой $PH$, обозначим его $\alpha = \angle APH$.

Центр $O$ описанной сферы лежит на прямой, содержащей высоту пирамиды $PH$. Расстояние от центра сферы до плоскости основания – это длина перпендикуляра $OH$. По условию, $OH = \frac{R}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OAH$, где $A$ - одна из вершин основания. Гипотенуза этого треугольника $OA$ является радиусом сферы, так как точка $A$ лежит на сфере, поэтому $OA = R$. Катет $OH = \frac{R}{2}$ по условию. Найдем второй катет $AH$ по теореме Пифагора:
$AH^2 = OA^2 - OH^2 = R^2 - (\frac{R}{2})^2 = R^2 - \frac{R^2}{4} = \frac{3R^2}{4}$.
Следовательно, $AH = \frac{\sqrt{3}}{2}R$. Этот отрезок является радиусом окружности, описанной около основания пирамиды.

Положение центра сферы $O$ относительно основания пирамиды может быть двояким, что и показано на рисунках 187а) и 187б). Рассмотрим оба случая.

а) В первом случае (рисунок 187а) центр сферы $O$ расположен между вершиной $P$ и центром основания $H$. Точки $H$, $O$, $P$ лежат на одной прямой в указанном порядке. Тогда высота пирамиды $PH$ складывается из отрезков $OH$ и $OP$. Так как $P$ – вершина пирамиды, лежащая на сфере, то $OP = R$.
$PH = OH + OP = \frac{R}{2} + R = \frac{3R}{2}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle PAH$ (угол $H$ прямой). Искомый угол $\alpha = \angle APH$. Найдем его тангенс:
$\tan(\alpha) = \frac{AH}{PH} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}R}{\frac{3R}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Отсюда, $\alpha = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

б) Во втором случае (рисунок 187б) центр основания $H$ расположен между вершиной $P$ и центром сферы $O$. Точки $O$, $H$, $P$ лежат на одной прямой в указанном порядке. Тогда отрезок $OP$, равный радиусу сферы $R$, складывается из отрезка $OH$ и высоты $PH$.
$OP = OH + PH$.
$R = \frac{R}{2} + PH$.
Отсюда находим высоту пирамиды:
$PH = R - \frac{R}{2} = \frac{R}{2}$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle PAH$ найдем тангенс угла $\alpha = \angle APH$:
$\tan(\alpha) = \frac{AH}{PH} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}R}{\frac{R}{2}} = \sqrt{3}$.
Отсюда, $\alpha = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

628. Найдите площадь сферы, вписанной в конус, образующая которого равна 9 см и наклонена к основанию под углом $30^\circ$.

Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле $S = 4\pi r^2$, где $r$ – радиус сферы. Для решения задачи необходимо найти радиус сферы, вписанной в конус.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник, а сечение вписанной сферы — это окружность, вписанная в этот треугольник. Радиус этой окружности равен радиусу $r$ вписанной сферы.

Пусть образующая конуса $L = 9$ см, высота — $H$, радиус основания — $R$. Угол наклона образующей к плоскости основания равен $30^\circ$. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой $H$, радиусом $R$ и образующей $L$ (которая является гипотенузой), найдем высоту конуса $H$:
$H = L \cdot \sin(30^\circ) = 9 \cdot \frac{1}{2} = 4.5$ см.

Центр вписанной сферы $O'$ лежит на высоте конуса $SO$. Проведем из центра сферы радиус $r$ в точку касания $K$ с образующей $SA$. Получим прямоугольный треугольник $SO'K$, где $O'K = r$. Угол при вершине конуса в осевом сечении можно найти из треугольника $SOA$. Угол $\angle OSA = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $SO'K$ гипотенуза $SO'$ равна разности высоты конуса и радиуса сферы: $SO' = H - r = 4.5 - r$.
Используя тригонометрическое соотношение, получаем:
$\sin(\angle KSO') = \frac{O'K}{SO'}$
$\sin(60^\circ) = \frac{r}{4.5 - r}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{r}{4.5 - r}$

Решим полученное уравнение для нахождения $r$:
$\sqrt{3}(4.5 - r) = 2r$
$4.5\sqrt{3} - r\sqrt{3} = 2r$
$4.5\sqrt{3} = r(2 + \sqrt{3})$
$r = \frac{4.5\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2 - \sqrt{3})$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:
$r = \frac{4.5\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{4.5(2\sqrt{3} - 3)}{4 - 3} = 4.5(2\sqrt{3} - 3) = \frac{9}{2}(2\sqrt{3} - 3)$ см.

Теперь вычислим площадь поверхности сферы, подставив найденное значение радиуса в формулу $S = 4\pi r^2$:
$S = 4\pi \left(\frac{9(2\sqrt{3} - 3)}{2}\right)^2 = 4\pi \frac{81(2\sqrt{3} - 3)^2}{4}$
$S = 81\pi (2\sqrt{3} - 3)^2$
Раскроем квадрат разности: $(2\sqrt{3} - 3)^2 = (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 3 + 3^2 = 12 - 12\sqrt{3} + 9 = 21 - 12\sqrt{3}$.
$S = 81\pi (21 - 12\sqrt{3})$
Вынесем общий множитель 3 за скобки:
$S = 81\pi \cdot 3(7 - 4\sqrt{3}) = 243\pi(7 - 4\sqrt{3})$ см$^2$.

Ответ: $243\pi(7 - 4\sqrt{3})$ см$^2$.

629. В правильную четырехугольную пирамиду, объем которой равен $96 \text{ см}^3$, вписан шар. Найдите высоту и сторону основания пирамиды, если радиус шара равен $2 \text{ см}$.

Пусть $H$ — высота правильной четырехугольной пирамиды, а $a$ — сторона ее основания.Объем пирамиды $V$ вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} a^2 H$.По условию задачи $V = 96 \text{ см}^3$, следовательно, получаем первое уравнение:$\frac{1}{3} a^2 H = 96$, откуда $a^2 H = 288$.

Для нахождения второго уравнения воспользуемся тем фактом, что в пирамиду вписан шар радиуса $r=2 \text{ см}$. Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через ее вершину и апофемы (высоты боковых граней) противоположных граней. Это сечение является равнобедренным треугольником с основанием $a$ и высотой $H$. Вписанный в пирамиду шар в этом сечении будет выглядеть как круг радиуса $r=2 \text{ см}$, вписанный в этот треугольник.Связь между радиусом вписанного шара $r$, высотой пирамиды $H$ и стороной основания $a$ можно найти из подобия треугольников в этом сечении. Эта связь выражается формулой:$a^2 = \frac{4r^2H}{H-2r}$.Подставляя $r=2 \text{ см}$, получаем:$a^2 = \frac{4 \cdot 2^2 \cdot H}{H - 2 \cdot 2} = \frac{16H}{H-4}$.Геометрический смысл этого соотношения заключается в том, что высота пирамиды $H$ должна быть больше диаметра вписанного шара, то есть $H > 2r = 4$.

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:$a^2 H = 288$$a^2 = \frac{16H}{H-4}$Подставив второе уравнение в первое, получим уравнение для $H$:$\frac{16H}{H-4} \cdot H = 288$$16H^2 = 288(H-4)$Разделив обе части на 16, получаем:$H^2 = 18(H-4)$$H^2 - 18H + 72 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $H$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72 = 324 - 288 = 36$.Корни уравнения:$H_1 = \frac{18 + \sqrt{36}}{2} = \frac{18+6}{2} = 12$$H_2 = \frac{18 - \sqrt{36}}{2} = \frac{18-6}{2} = 6$Оба значения удовлетворяют условию $H > 4$.

Найдем соответствующие значения стороны основания $a$ для каждого из найденных значений высоты $H$, используя уравнение $a^2 = 288/H$:
1. Если $H = 12 \text{ см}$, то $a^2 = \frac{288}{12} = 24$, откуда $a = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \text{ см}$.
2. Если $H = 6 \text{ см}$, то $a^2 = \frac{288}{6} = 48$, откуда $a = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \text{ см}$.
Таким образом, условиям задачи удовлетворяют две пирамиды.
Ответ: высота 12 см, сторона основания $2\sqrt{6}$ см; или высота 6 см, сторона основания $4\sqrt{3}$ см.