Номер 627, страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

627. Расстояние от центра сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды, до ее основания в 2 раза меньше радиуса сферы (рисунок 187). Найдите угол между боковым ребром и высотой пирамиды.

a)

б)

Рисунок 187

Пусть $PABC$ – данная правильная треугольная пирамида, $PH$ – ее высота, где $H$ – центр основания $ABC$. Пусть сфера с центром $O$ и радиусом $R$ описана около этой пирамиды. Угол, который необходимо найти, – это угол между боковым ребром (например, $PA$) и высотой $PH$, обозначим его $\alpha = \angle APH$.

Центр $O$ описанной сферы лежит на прямой, содержащей высоту пирамиды $PH$. Расстояние от центра сферы до плоскости основания – это длина перпендикуляра $OH$. По условию, $OH = \frac{R}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OAH$, где $A$ - одна из вершин основания. Гипотенуза этого треугольника $OA$ является радиусом сферы, так как точка $A$ лежит на сфере, поэтому $OA = R$. Катет $OH = \frac{R}{2}$ по условию. Найдем второй катет $AH$ по теореме Пифагора:
$AH^2 = OA^2 - OH^2 = R^2 - (\frac{R}{2})^2 = R^2 - \frac{R^2}{4} = \frac{3R^2}{4}$.
Следовательно, $AH = \frac{\sqrt{3}}{2}R$. Этот отрезок является радиусом окружности, описанной около основания пирамиды.

Положение центра сферы $O$ относительно основания пирамиды может быть двояким, что и показано на рисунках 187а) и 187б). Рассмотрим оба случая.

а) В первом случае (рисунок 187а) центр сферы $O$ расположен между вершиной $P$ и центром основания $H$. Точки $H$, $O$, $P$ лежат на одной прямой в указанном порядке. Тогда высота пирамиды $PH$ складывается из отрезков $OH$ и $OP$. Так как $P$ – вершина пирамиды, лежащая на сфере, то $OP = R$.
$PH = OH + OP = \frac{R}{2} + R = \frac{3R}{2}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle PAH$ (угол $H$ прямой). Искомый угол $\alpha = \angle APH$. Найдем его тангенс:
$\tan(\alpha) = \frac{AH}{PH} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}R}{\frac{3R}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Отсюда, $\alpha = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

б) Во втором случае (рисунок 187б) центр основания $H$ расположен между вершиной $P$ и центром сферы $O$. Точки $O$, $H$, $P$ лежат на одной прямой в указанном порядке. Тогда отрезок $OP$, равный радиусу сферы $R$, складывается из отрезка $OH$ и высоты $PH$.
$OP = OH + PH$.
$R = \frac{R}{2} + PH$.
Отсюда находим высоту пирамиды:
$PH = R - \frac{R}{2} = \frac{R}{2}$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle PAH$ найдем тангенс угла $\alpha = \angle APH$:
$\tan(\alpha) = \frac{AH}{PH} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}R}{\frac{R}{2}} = \sqrt{3}$.
Отсюда, $\alpha = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.