Номер 625, страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

625. Высшей точкой Казахстана является пик Хан-Тенгри (горы Тянь-Шань). Какова его высота, если она выражается в метрах тем же числом, что и объем тетраэдра в $м^3$, боковые ребра которого перпендикулярны и равны 5 м, 6 м и 1339 м?

Пик Хан-Тенгри,
Алматинская область

Для того чтобы найти высоту пика Хан-Тенгри, необходимо вычислить объем тетраэдра, описанного в условии. Высота пика в метрах численно равна объему тетраэдра в кубических метрах.

У тетраэдра есть три взаимно перпендикулярных боковых ребра, выходящих из одной вершины. Такой тетраэдр можно рассматривать как пирамиду, в основании которой лежит прямоугольный треугольник, образованный двумя из этих ребер, а третье ребро является высотой пирамиды.

Объем пирамиды вычисляется по формуле:$V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота.

Пусть длины взаимно перпендикулярных ребер равны $a = 5$ м, $b = 6$ м и $c = 1339$ м.Возьмем в качестве основания прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$. Его площадь равна:$S_{осн} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 = 15$ м².

Высотой пирамиды будет третье ребро $c = 1339$ м, так как оно перпендикулярно плоскости основания.Теперь можем вычислить объем:$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 15 \cdot 1339 = 5 \cdot 1339 = 6695$ м³.

Для тетраэдра с тремя взаимно перпендикулярными ребрами $a, b, c$, выходящими из одной вершины, существует также прямая формула для вычисления объема:$V = \frac{1}{6}abc$.

Подставим в нее данные значения:$V = \frac{1}{6} \cdot 5 \cdot 6 \cdot 1339 = \frac{30}{6} \cdot 1339 = 5 \cdot 1339 = 6695$ м³.

По условию, высота пика Хан-Тенгри в метрах численно равна объему тетраэдра в м³.Следовательно, высота пика составляет 6695 метров.

Ответ: 6695 м.