Номер 619, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

619. Сравните объем шара радиуса 1 дм с объемом правильной треугольной призмы, каждое ребро которой равно 2 дм.

Для того чтобы сравнить объемы, необходимо сначала вычислить объем шара и объем правильной треугольной призмы.

Объем шара вычисляется по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ - радиус шара. По условию задачи радиус шара $R = 1$ дм. Подставив это значение в формулу, получаем:
$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi \cdot 1^3 = \frac{4}{3}\pi$ дм³.

Объем призмы равен произведению площади ее основания на высоту: $V_{призмы} = S_{осн} \cdot h$. В основании правильной треугольной призмы лежит правильный (равносторонний) треугольник. По условию, каждое ребро призмы равно 2 дм, следовательно, сторона основания $a = 2$ дм, и высота призмы $h = 2$ дм. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Найдем площадь основания:
$S_{осн} = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$ дм².
Теперь можем найти объем призмы:
$V_{призмы} = S_{осн} \cdot h = \sqrt{3} \cdot 2 = 2\sqrt{3}$ дм³.

Теперь сравним полученные объемы: $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi$ и $V_{призмы} = 2\sqrt{3}$.
Сравним числа $\frac{4}{3}\pi$ и $2\sqrt{3}$. Так как оба числа положительные, мы можем сравнить их квадраты.
$(\frac{4}{3}\pi)^2 = \frac{16\pi^2}{9}$
$(2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$
Сравним $\frac{16\pi^2}{9}$ и $12$. Это эквивалентно сравнению $16\pi^2$ и $12 \cdot 9 = 108$, или сравнению $\pi^2$ и $\frac{108}{16} = \frac{27}{4} = 6,75$.
Так как значение числа $\pi \approx 3,14$, то $\pi^2 \approx 3,14^2 \approx 9,86$.
Поскольку $9,86 > 6,75$, то $\pi^2 > \frac{27}{4}$.
Следовательно, $(\frac{4}{3}\pi)^2 > (2\sqrt{3})^2$, и $\frac{4}{3}\pi > 2\sqrt{3}$.
Таким образом, объем шара больше объема призмы.
Ответ: объем шара больше объема правильной треугольной призмы.