Номер 613, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

613. Верно ли, что если векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ коллинеарны, то точки $A, B, C$ лежат:

а) на одной прямой;

б) на параллельных прямых?

а) на одной прямой

По определению, два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ имеют общее начало в точке A.

Вектор $\overrightarrow{AB}$ лежит на прямой, проходящей через точки A и B. Обозначим эту прямую как l₁.

Вектор $\overrightarrow{AC}$ лежит на прямой, проходящей через точки A и C. Обозначим эту прямую как l₂.

Поскольку векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ коллинеарны, прямые l₁ и l₂ должны быть либо параллельны, либо совпадать.

Обе прямые, l₁ и l₂, проходят через общую точку A. Если две параллельные прямые имеют общую точку, то они совпадают. Следовательно, прямая l₁ совпадает с прямой l₂. Это означает, что все три точки — A, B и C — лежат на одной и той же прямой.

Таким образом, утверждение верно.

Ответ: Да, верно.

б) на параллельных прямых

Как было доказано в пункте а), из-за наличия общей точки A точки A, B и C всегда лежат на одной прямой. Они не могут располагаться на разных параллельных прямых.

Предположим, что точки A и B лежат на прямой l₁, а точка C лежит на другой прямой l₂, причем $l_1 \parallel l_2$ и $l_1 \ne l_2$. Вектор $\overrightarrow{AC}$ определяется точками A и C, следовательно, он должен лежать на прямой, проходящей через A и C. Этой прямой является l₂ (или прямая, параллельная ей). Значит, точка A должна принадлежать прямой l₂. Но точка A также принадлежит прямой l₁. Таким образом, точка A является общей точкой для двух различных параллельных прямых l₁ и l₂, что противоречит определению параллельных прямых (они не пересекаются).

Следовательно, точки A, B и C не могут лежать на разных параллельных прямых. Они могут лежать только на одной прямой. Хотя одна прямая формально параллельна самой себе, в контексте противопоставления с пунктом а), вопрос подразумевает возможность расположения точек на нескольких различных параллельных прямых. Эта возможность исключена.

Ответ: Нет, неверно.