Номер 607, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

607. Могут ли быть перпендикулярными одной плоскости две стороны:

а) треугольника;

б) трапеции;

в) правильного шестиугольника?

Для решения этой задачи воспользуемся основной теоремой стереометрии о связи перпендикулярности и параллельности прямых и плоскостей: если две различные прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то эти прямые параллельны друг другу. Обозначим плоскость как $\alpha$, а две прямые как $a$ и $b$. Тогда из $a \perp \alpha$ и $b \perp \alpha$ следует, что $a \parallel b$.

Стороны многоугольника — это отрезки, лежащие на прямых. Таким образом, вопрос сводится к тому, может ли данный многоугольник иметь две параллельные стороны.

а) треугольника

У треугольника три стороны, и любые две из них имеют общую вершину, то есть пересекаются. Прямые, на которых лежат стороны треугольника, попарно пересекаются. Параллельные прямые по определению не имеют общих точек. Следовательно, никакие две стороны треугольника не могут быть параллельны. А раз стороны не могут быть параллельны, они не могут быть перпендикулярны одной и той же плоскости.

Ответ: нет.

б) трапеции

Трапеция — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет. Параллельные стороны называются основаниями трапеции. Пусть в трапеции $ABCD$ стороны $AD$ и $BC$ являются основаниями. По определению, прямые, содержащие эти стороны, параллельны: $AD \parallel BC$. Так как эти стороны параллельны, они могут быть перпендикулярны одной и той же плоскости. Например, любая плоскость, перпендикулярная прямой $AD$, будет также перпендикулярна и прямой $BC$.

Ответ: да.

в) правильного шестиугольника

Правильный шестиугольник — это многоугольник с шестью равными сторонами и шестью равными углами. У правильного шестиугольника есть три пары противолежащих сторон, и каждая такая пара параллельна. Например, для правильного шестиугольника $ABCDEF$ имеем следующие пары параллельных сторон: $AB \parallel ED$, $BC \parallel FE$ и $CD \parallel AF$. Поскольку существуют пары параллельных сторон, то две такие стороны могут быть перпендикулярны одной и той же плоскости.

Ответ: да.