Номер 603, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

603. Через сторону правильного $n$-угольника проведена плоскость. Найдется ли его сторона, параллельная построенной плоскости, если:

а) $n = 3$;

б) $n = 6$? Ответ объясните.

Для того чтобы сторона правильного n-угольника была параллельна плоскости, проведенной через другую его сторону, необходимо и достаточно, чтобы эти две стороны были параллельны между собой. Это следует из признака параллельности прямой и плоскости: прямая, не лежащая в плоскости, параллельна ей, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости. В нашем случае такой прямой является сторона n-угольника, через которую проведена плоскость.

В правильном n-угольнике существуют параллельные стороны тогда и только тогда, когда число сторон $n$ является четным. У такого n-угольника каждая сторона имеет одну противолежащую ей сторону, которая ей параллельна. Если же $n$ — нечетное число, то у каждой стороны противолежащей является вершина, и в многоугольнике нет параллельных сторон.

а) n = 3

При $n = 3$ мы имеем дело с правильным треугольником. Число сторон $n=3$ — нечетное. В треугольнике нет параллельных сторон, так как любые две стороны пересекаются в общей вершине. Следовательно, если провести плоскость через одну из сторон, то ни одна из двух других сторон не будет ей параллельна. Таким образом, не найдется стороны, параллельной построенной плоскости.

Ответ: нет.

б) n = 6

При $n = 6$ мы имеем дело с правильным шестиугольником. Число сторон $n=6$ — четное. В правильном шестиугольнике противолежащие стороны параллельны. Пусть плоскость проведена через сторону $A_1A_2$. Сторона, противолежащая ей, это $A_4A_5$. Так как $A_4A_5 \parallel A_1A_2$, а прямая $A_1A_2$ лежит в построенной плоскости, то по признаку параллельности прямой и плоскости, сторона $A_4A_5$ параллельна этой плоскости. Таким образом, найдется сторона, параллельная построенной плоскости.

Ответ: да.