Номер 604, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

604. Можно ли провести прямую, параллельную любым двум плоскостям?

Да, можно провести прямую, параллельную любым двум плоскостям. Для доказательства этого утверждения рассмотрим два возможных случая взаимного расположения двух произвольных плоскостей $\alpha$ и $\beta$ в пространстве.

Случай 1. Плоскости параллельны. Пусть плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$). Прямая считается параллельной плоскости, если она не имеет с ней общих точек. Нам нужно найти прямую $l$, которая не пересекает ни $\alpha$, ни $\beta$. Возьмем любую прямую $m$, лежащую в плоскости $\alpha$ ($m \subset \alpha$). Теперь проведем через любую точку пространства, не принадлежащую ни $\alpha$, ни $\beta$, прямую $l$, параллельную прямой $m$ ($l \parallel m$). Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Таким образом, $l \parallel \alpha$. Так как $\alpha \parallel \beta$, то прямая $l$ не может пересекать и плоскость $\beta$, поскольку в противном случае она должна была бы пересечь и плоскость $\alpha$. Следовательно, $l \parallel \beta$. Значит, прямая $l$ параллельна обеим плоскостям.

Случай 2. Плоскости пересекаются. Пусть плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $c$. Рассмотрим любую прямую $l$, параллельную прямой $c$ ($l \parallel c$) и не совпадающую с ней. Докажем, что прямая $l$ будет параллельна обеим плоскостям. Докажем, что $l \parallel \alpha$. Предположим обратное: прямая $l$ пересекает плоскость $\alpha$ в некоторой точке $M$. Так как $l \parallel c$, через эти две прямые можно провести плоскость $\gamma$. Прямая $c$ лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$). Точка $M$ также лежит в плоскости $\alpha$ ($M \in \alpha$). Поскольку и прямая $c$, и точка $M$ лежат в плоскости $\gamma$, а также в плоскости $\alpha$, то точка $M$ должна лежать на линии пересечения плоскостей $\gamma$ и $\alpha$. Линией их пересечения является прямая $c$. Таким образом, $M \in c$. Но точка $M$ также принадлежит прямой $l$ ($M \in l$). Получается, что прямые $l$ и $c$ пересекаются в точке $M$, что противоречит условию $l \parallel c$. Следовательно, наше предположение неверно, и прямая $l$ не пересекает плоскость $\alpha$, то есть $l \parallel \alpha$. Аналогично доказывается, что $l \parallel \beta$.

Таким образом, в обоих возможных случаях взаимного расположения двух плоскостей можно провести прямую, параллельную им обеим.

Ответ: Да, можно.