Страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

603. Через сторону правильного $n$-угольника проведена плоскость. Найдется ли его сторона, параллельная построенной плоскости, если:

а) $n = 3$;

б) $n = 6$? Ответ объясните.

Для того чтобы сторона правильного n-угольника была параллельна плоскости, проведенной через другую его сторону, необходимо и достаточно, чтобы эти две стороны были параллельны между собой. Это следует из признака параллельности прямой и плоскости: прямая, не лежащая в плоскости, параллельна ей, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости. В нашем случае такой прямой является сторона n-угольника, через которую проведена плоскость.

В правильном n-угольнике существуют параллельные стороны тогда и только тогда, когда число сторон $n$ является четным. У такого n-угольника каждая сторона имеет одну противолежащую ей сторону, которая ей параллельна. Если же $n$ — нечетное число, то у каждой стороны противолежащей является вершина, и в многоугольнике нет параллельных сторон.

а) n = 3

При $n = 3$ мы имеем дело с правильным треугольником. Число сторон $n=3$ — нечетное. В треугольнике нет параллельных сторон, так как любые две стороны пересекаются в общей вершине. Следовательно, если провести плоскость через одну из сторон, то ни одна из двух других сторон не будет ей параллельна. Таким образом, не найдется стороны, параллельной построенной плоскости.

Ответ: нет.

б) n = 6

При $n = 6$ мы имеем дело с правильным шестиугольником. Число сторон $n=6$ — четное. В правильном шестиугольнике противолежащие стороны параллельны. Пусть плоскость проведена через сторону $A_1A_2$. Сторона, противолежащая ей, это $A_4A_5$. Так как $A_4A_5 \parallel A_1A_2$, а прямая $A_1A_2$ лежит в построенной плоскости, то по признаку параллельности прямой и плоскости, сторона $A_4A_5$ параллельна этой плоскости. Таким образом, найдется сторона, параллельная построенной плоскости.

Ответ: да.

604. Можно ли провести прямую, параллельную любым двум плоскостям?

Да, можно провести прямую, параллельную любым двум плоскостям. Для доказательства этого утверждения рассмотрим два возможных случая взаимного расположения двух произвольных плоскостей $\alpha$ и $\beta$ в пространстве.

Случай 1. Плоскости параллельны. Пусть плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$). Прямая считается параллельной плоскости, если она не имеет с ней общих точек. Нам нужно найти прямую $l$, которая не пересекает ни $\alpha$, ни $\beta$. Возьмем любую прямую $m$, лежащую в плоскости $\alpha$ ($m \subset \alpha$). Теперь проведем через любую точку пространства, не принадлежащую ни $\alpha$, ни $\beta$, прямую $l$, параллельную прямой $m$ ($l \parallel m$). Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Таким образом, $l \parallel \alpha$. Так как $\alpha \parallel \beta$, то прямая $l$ не может пересекать и плоскость $\beta$, поскольку в противном случае она должна была бы пересечь и плоскость $\alpha$. Следовательно, $l \parallel \beta$. Значит, прямая $l$ параллельна обеим плоскостям.

Случай 2. Плоскости пересекаются. Пусть плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $c$. Рассмотрим любую прямую $l$, параллельную прямой $c$ ($l \parallel c$) и не совпадающую с ней. Докажем, что прямая $l$ будет параллельна обеим плоскостям. Докажем, что $l \parallel \alpha$. Предположим обратное: прямая $l$ пересекает плоскость $\alpha$ в некоторой точке $M$. Так как $l \parallel c$, через эти две прямые можно провести плоскость $\gamma$. Прямая $c$ лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$). Точка $M$ также лежит в плоскости $\alpha$ ($M \in \alpha$). Поскольку и прямая $c$, и точка $M$ лежат в плоскости $\gamma$, а также в плоскости $\alpha$, то точка $M$ должна лежать на линии пересечения плоскостей $\gamma$ и $\alpha$. Линией их пересечения является прямая $c$. Таким образом, $M \in c$. Но точка $M$ также принадлежит прямой $l$ ($M \in l$). Получается, что прямые $l$ и $c$ пересекаются в точке $M$, что противоречит условию $l \parallel c$. Следовательно, наше предположение неверно, и прямая $l$ не пересекает плоскость $\alpha$, то есть $l \parallel \alpha$. Аналогично доказывается, что $l \parallel \beta$.

Таким образом, в обоих возможных случаях взаимного расположения двух плоскостей можно провести прямую, параллельную им обеим.

Ответ: Да, можно.

605. Верно ли, что две плоскости параллельны, если две прямые одной из них соответственно параллельны двум прямым другой?

Нет, данное утверждение не всегда верно. Оно истинно только при выполнении дополнительного условия.

Для того чтобы две плоскости были параллельны, необходимо, чтобы две пересекающиеся прямые одной плоскости были соответственно параллельны двум прямым другой плоскости. В условии задачи не указано, что прямые в первой плоскости пересекаются. Рассмотрим два возможных случая.

1. Две прямые в одной из плоскостей пересекаются.

Пусть в плоскости $ \alpha $ лежат две прямые $ a $ и $ b $, которые пересекаются в точке $ M $ ($ a \cap b = M $). В плоскости $ \beta $ лежат две прямые $ c $ и $ d $. По условию задачи, $ a \parallel c $ и $ b \parallel d $.В этом случае, согласно признаку параллельности двух плоскостей, плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ параллельны ($ \alpha \parallel \beta $). Признак гласит: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.
При данном условии утверждение верно.

2. Две прямые в одной из плоскостей параллельны.

Пусть в плоскости $ \alpha $ лежат две параллельные прямые $ a $ и $ b $ ($ a \parallel b $). В плоскости $ \beta $ лежат прямые $ c $ и $ d $. По условию, $ a \parallel c $ и $ b \parallel d $.
Из свойств параллельных прямых ($ a \parallel b, a \parallel c, b \parallel d $) следует, что все четыре прямые параллельны друг другу: $ a \parallel b \parallel c \parallel d $.
В этом случае плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ не обязательно будут параллельны. Они могут пересекаться. Приведем контрпример.

Возьмем две плоскости $ \alpha $ и $ \beta $, которые пересекаются по прямой $ l $. Например, две смежные грани куба или две страницы раскрытой книги.

В плоскости $ \alpha $ проведем две различные прямые $ a $ и $ b $, параллельные их линии пересечения $ l $. Таким образом, $ a \subset \alpha, b \subset \alpha, a \parallel l, b \parallel l $. Из этого следует, что $ a \parallel b $.

Аналогично в плоскости $ \beta $ проведем две различные прямые $ c $ и $ d $, параллельные линии пересечения $ l $. Таким образом, $ c \subset \beta, d \subset \beta, c \parallel l, d \parallel l $. Из этого следует, что $ c \parallel d $.

Мы получили, что прямая $ a $ из плоскости $ \alpha $ параллельна прямой $ c $ из плоскоosti $ \beta $ (так как обе параллельны $ l $). Также прямая $ b $ из плоскости $ \alpha $ параллельна прямой $ d $ из плоскости $ \beta $ (так как обе параллельны $ l $).Таким образом, все условия задачи выполнены. Однако плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ по нашему построению не параллельны, а пересекаются.

Поскольку существует случай, когда утверждение неверно, то и в общем виде оно считается неверным.

Ответ: Нет, не верно. Утверждение будет верным только в том случае, если две прямые в одной из плоскостей являются пересекающимися. Если же эти прямые параллельны, то плоскости могут как быть параллельными, так и пересекаться.

606. Сторона правильного треугольника лежит в некоторой плоскости.

Может ли быть перпендикулярна этой плоскости:

а) другая его сторона;

б) медиана треугольника?

Пусть дан правильный (равносторонний) треугольник $ABC$ и плоскость $\alpha$. По условию, одна из его сторон, например $AB$, лежит в плоскости $\alpha$.

а)

Предположим, что другая сторона треугольника, например $AC$, перпендикулярна плоскости $\alpha$.

По определению прямой, перпендикулярной плоскости, прямая $AC$ должна быть перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$ и проходящей через точку их пересечения $A$.

Сторона $AB$ является прямой, которая лежит в плоскости $\alpha$ и проходит через точку $A$. Следовательно, если $AC \perp \alpha$, то должно выполняться условие $AC \perp AB$.

Это означает, что угол между сторонами $AC$ и $AB$, то есть $\angle CAB$, должен быть прямым ($\angle CAB = 90^\circ$).

Однако, по условию, треугольник $ABC$ является правильным, а все углы в правильном треугольнике равны $60^\circ$. Таким образом, $\angle CAB = 60^\circ$.

Полученное противоречие ($60^\circ \neq 90^\circ$) доказывает, что наше предположение неверно. Следовательно, другая сторона правильного треугольника не может быть перпендикулярна плоскости, в которой лежит первая сторона.

Ответ: нет, не может.

б)

Да, медиана треугольника может быть перпендикулярна этой плоскости. Рассмотрим медиану, проведенную к стороне, которая лежит в плоскости $\alpha$.

Пусть $CM$ — медиана, проведенная из вершины $C$ к стороне $AB$. Покажем, что возможна ситуация, когда $CM \perp \alpha$.

Пусть сторона правильного треугольника равна $a$. Тогда $AB = a$. Длина медианы (которая в правильном треугольнике является и высотой), проведенной к стороне $a$, вычисляется по формуле: $m = \sqrt{a^2 - (a/2)^2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Мы можем построить такую конфигурацию: в плоскости $\alpha$ возьмем отрезок $AB$ длиной $a$. В его середине, точке $M$, восстановим перпендикуляр к плоскости $\alpha$ и отложим на нем отрезок $MC$ длиной $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Соединив точки $A$, $B$ и $C$, получим треугольник $ABC$.

В этом треугольнике сторона $AB = a$. Поскольку $CM \perp \alpha$ по построению, то $CM$ перпендикулярна любой прямой в плоскости $\alpha$, проходящей через $M$. Значит, $\triangle AMC$ и $\triangle BMC$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $M$.

По теореме Пифагора для этих треугольников:

$AC^2 = AM^2 + MC^2 = (a/2)^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} = a^2$, откуда $AC=a$.

$BC^2 = BM^2 + MC^2 = (a/2)^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} = a^2$, откуда $BC=a$.

Так как $AB = AC = BC = a$, построенный треугольник $ABC$ является правильным. При этом его сторона $AB$ лежит в плоскости $\alpha$, а медиана $CM$ перпендикулярна этой плоскости. Следовательно, такая ситуация возможна.

Заметим, что медианы, проведенные из вершин $A$ или $B$, не могут быть перпендикулярны плоскости $\alpha$, так как это привело бы к противоречию (аналогично пункту а)).

Ответ: да, может (а именно, медиана, проведенная к стороне, которая лежит в данной плоскости).

607. Могут ли быть перпендикулярными одной плоскости две стороны:

а) треугольника;

б) трапеции;

в) правильного шестиугольника?

Для решения этой задачи воспользуемся основной теоремой стереометрии о связи перпендикулярности и параллельности прямых и плоскостей: если две различные прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то эти прямые параллельны друг другу. Обозначим плоскость как $\alpha$, а две прямые как $a$ и $b$. Тогда из $a \perp \alpha$ и $b \perp \alpha$ следует, что $a \parallel b$.

Стороны многоугольника — это отрезки, лежащие на прямых. Таким образом, вопрос сводится к тому, может ли данный многоугольник иметь две параллельные стороны.

а) треугольника

У треугольника три стороны, и любые две из них имеют общую вершину, то есть пересекаются. Прямые, на которых лежат стороны треугольника, попарно пересекаются. Параллельные прямые по определению не имеют общих точек. Следовательно, никакие две стороны треугольника не могут быть параллельны. А раз стороны не могут быть параллельны, они не могут быть перпендикулярны одной и той же плоскости.

Ответ: нет.

б) трапеции

Трапеция — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет. Параллельные стороны называются основаниями трапеции. Пусть в трапеции $ABCD$ стороны $AD$ и $BC$ являются основаниями. По определению, прямые, содержащие эти стороны, параллельны: $AD \parallel BC$. Так как эти стороны параллельны, они могут быть перпендикулярны одной и той же плоскости. Например, любая плоскость, перпендикулярная прямой $AD$, будет также перпендикулярна и прямой $BC$.

Ответ: да.

в) правильного шестиугольника

Правильный шестиугольник — это многоугольник с шестью равными сторонами и шестью равными углами. У правильного шестиугольника есть три пары противолежащих сторон, и каждая такая пара параллельна. Например, для правильного шестиугольника $ABCDEF$ имеем следующие пары параллельных сторон: $AB \parallel ED$, $BC \parallel FE$ и $CD \parallel AF$. Поскольку существуют пары параллельных сторон, то две такие стороны могут быть перпендикулярны одной и той же плоскости.

Ответ: да.

608. Правильно ли дано определение понятия? Если нет, то укажите ошибку:

а) две прямые в пространстве называются параллельными, если они не имеют общих точек;

б) две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек;

в) пирамидой называется многогранник, одна грань которого многоугольник, а остальные – треугольники.

а) Определение неверно. Две прямые в пространстве, которые не имеют общих точек, могут быть не только параллельными, но и скрещивающимися. Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости, в то время как для параллельности прямые обязательно должны лежать в одной плоскости. В данном определении это ключевое условие отсутствует.
Ошибка: не указано, что прямые должны лежать в одной плоскости.
Ответ: определение неверно.

б) Определение верно. В пространстве две различные плоскости могут либо пересекаться по прямой, либо не иметь общих точек. По определению, плоскости, не имеющие общих точек, называются параллельными. Никаких других случаев для непересекающихся плоскостей не существует.
Ответ: определение верно.

в) Определение неверно, так как оно является неполным. В нем пропущено важнейшее условие: все грани-треугольники (боковые грани) должны иметь одну общую вершину, которая называется вершиной пирамиды. Без этого условия под определение подходят и другие многогранники. Например, октаэдр, все грани которого — треугольники. Если принять одну его грань за основание, то остальные тоже треугольники, но октаэдр не является пирамидой.
Ошибка: не указано, что все грани-треугольники, кроме основания, должны иметь общую вершину.
Ответ: определение неверно.

609. Отрезок $AB$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $O$. Прямые $AD$ и $BC$ перпендикулярны этой плоскости и пересекают ее в точках $D$ и $C$ соответственно. Найдите длину отрезка $AB$, если $AD = 6$ см, $BC = 2$ см, $OC = 1,5$ см.

Поскольку прямые $AD$ и $BC$ перпендикулярны одной и той же плоскости $\alpha$, они параллельны друг другу: $AD \parallel BC$.

Так как прямые $AD$ и $BC$ параллельны, то через них можно провести единственную плоскость. Отрезок $AB$, соединяющий точки на этих прямых, также лежит в этой плоскости. Таким образом, точки $A, B, C, D$ лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $DC$. Точка $O$ является точкой пересечения отрезка $AB$ с плоскостью $\alpha$, следовательно, точка $O$ лежит на прямой $DC$, и точки $D, O, C$ коллинеарны.

Рассмотрим треугольники $\triangle ADO$ и $\triangle BCO$.

По условию, $AD \perp \alpha$ и $BC \perp \alpha$. Прямая $DC$ лежит в плоскости $\alpha$, поэтому $AD \perp DC$ и $BC \perp DC$. Это означает, что $\angle ADO = 90^\circ$ и $\angle BCO = 90^\circ$. Следовательно, треугольники $\triangle ADO$ и $\triangle BCO$ являются прямоугольными.

Углы $\angle AOD$ и $\angle BOC$ равны как вертикальные. Так как прямоугольные треугольники имеют по равному острому углу, они подобны. Таким образом, $\triangle ADO \sim \triangle BCO$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$ \frac{AD}{BC} = \frac{DO}{CO} = \frac{AO}{BO} $

Подставим известные значения ($AD = 6$ см, $BC = 2$ см, $OC = 1,5$ см) в пропорцию, чтобы найти длину отрезка $DO$:

$ \frac{6}{2} = \frac{DO}{1,5} $

$ 3 = \frac{DO}{1,5} $

$ DO = 3 \cdot 1,5 = 4,5 $ см.

Теперь найдем длины гипотенуз $BO$ и $AO$ в прямоугольных треугольниках $\triangle BCO$ и $\triangle ADO$ по теореме Пифагора.

В $\triangle BCO$:

$ BO = \sqrt{BC^2 + OC^2} = \sqrt{2^2 + (1,5)^2} = \sqrt{4 + 2,25} = \sqrt{6,25} = 2,5 $ см.

В $\triangle ADO$:

$ AO = \sqrt{AD^2 + DO^2} = \sqrt{6^2 + (4,5)^2} = \sqrt{36 + 20,25} = \sqrt{56,25} = 7,5 $ см.

Длина отрезка $AB$ равна сумме длин отрезков $AO$ и $BO$, так как точка $O$ лежит на отрезке $AB$:

$ AB = AO + BO = 7,5 + 2,5 = 10 $ см.

Ответ: 10 см.

610. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания равна $4\sqrt{3}$ см, а боковое ребро $- 3\sqrt{3}$ см. Через ребро $AB$ и середину стороны $A_1C_1$ проведена плоскость. Найдите угол наклона этой плоскости к основанию призмы и площадь сечения.

Дано: правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.
Сторона основания $a = AB = BC = AC = 4\sqrt{3}$ см.
Боковое ребро $h = AA_1 = 3\sqrt{3}$ см.
Сечение проходит через ребро $AB$ и середину стороны $A_1C_1$. Обозначим середину $A_1C_1$ как точку $M$. Таким образом, сечение является треугольником $ABM$.

Найдем угол наклона этой плоскости к основанию призмы

Угол наклона плоскости сечения $(ABM)$ к плоскости основания $(ABC)$ — это двугранный угол между этими плоскостями. Линией пересечения этих плоскостей является ребро $AB$. Величина двугранного угла измеряется величиной его линейного угла. Для построения линейного угла найдем высоту треугольника сечения $MH$, проведенную к стороне $AB$, и рассмотрим ее проекцию на плоскость основания.

1. Пусть $M'$ — проекция точки $M$ на плоскость основания $(ABC)$. Так как призма правильная, она является прямой, и боковые ребра перпендикулярны основаниям. Следовательно, $M'$ будет серединой стороны $AC$. Длина отрезка $MM'$ равна высоте призмы: $MM' = AA_1 = 3\sqrt{3}$ см.

2. Проведем в плоскости сечения высоту $MH$ к стороне $AB$. Проекцией наклонной $MH$ на плоскость основания будет отрезок $M'H$. Угол наклона плоскости сечения к плоскости основания — это угол $\angle MHM'$, который мы обозначим как $\alpha$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $MM'H$. Угол $\angle MM'H = 90^\circ$. Тангенс искомого угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета $MM'$ к прилежащему катету $M'H$: $ \tan(\alpha) = \frac{MM'}{M'H} $.

4. Найдем длину катета $M'H$. $M'H$ — это расстояние от точки $M'$ (середины $AC$) до прямой $AB$. В равностороннем треугольнике $ABC$ проведем высоту $CK$ к стороне $AB$. $K$ — середина $AB$. Длина высоты $CK$ равна: $ CK = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6 $ см.

Так как $M'$ — середина $AC$, то отрезок $M'H$, будучи перпендикуляром к $AB$, параллелен $CK$. В треугольнике $ACK$, $M'H$ является средней линией (по теореме Фалеса, так как $M'$ — середина $AC$ и $M'H \parallel CK$). Следовательно: $ M'H = \frac{1}{2} CK = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3 $ см.

5. Теперь найдем тангенс угла $\alpha$: $ \tan(\alpha) = \frac{MM'}{M'H} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} $. Отсюда следует, что угол $\alpha = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

Найдем площадь сечения

Площадь сечения — это площадь треугольника $ABM$. Она вычисляется по формуле: $ S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot MH $.

1. Сторона $AB$ нам известна: $AB = 4\sqrt{3}$ см.

2. Высоту $MH$ найдем из прямоугольного треугольника $MM'H$ по теореме Пифагора: $ MH^2 = (MM')^2 + (M'H)^2 $. Мы уже нашли, что $MM' = 3\sqrt{3}$ см и $M'H = 3$ см. $ MH^2 = (3\sqrt{3})^2 + 3^2 = 27 + 9 = 36 $. $ MH = \sqrt{36} = 6 $ см.

3. Теперь вычислим площадь сечения: $ S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 6 = 12\sqrt{3} $ см$^2$.

Альтернативный способ: Площадь сечения ($S_{сеч}$) связана с площадью его ортогональной проекции ($S_{про}$) и углом наклона ($\alpha$) формулой $S_{сеч} = \frac{S_{про}}{\cos(\alpha)}$. Проекцией сечения $ABM$ на основание является треугольник $ABM'$. Найдем его площадь: $ S_{про} = S_{ABM'} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot M'H = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 3 = 6\sqrt{3} $ см$^2$. Угол наклона $\alpha = 60^\circ$, $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$. $ S_{сеч} = \frac{6\sqrt{3}}{1/2} = 12\sqrt{3} $ см$^2$. Результаты совпадают.

Ответ: $12\sqrt{3}$ см$^2$

611. Основание наклонной призмы – прямоугольный треугольник с катетами, равными 5 см и 12 см. Боковая грань, содержащая гипотенузу, перпендикулярна основанию и имеет площадь $130 \text{ см}^2$. Найдите объем призмы.

Для нахождения объема наклонной призмы используется формула $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Нахождение площади основания.
Основание призмы — это прямоугольный треугольник с катетами $a = 5$ см и $b = 12$ см. Его площадь вычисляется по формуле:
$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$ см².

2. Нахождение высоты призмы.
Сначала найдем длину гипотенузы $c$ основания, используя теорему Пифагора:
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см.
По условию, боковая грань, содержащая гипотенузу, перпендикулярна плоскости основания. Это означает, что высота этой грани (которая является параллелограммом) и есть высота самой призмы $H$.
Площадь этой боковой грани $S_{бок}$ равна произведению ее основания (гипотенузы $c$) на высоту $H$:
$S_{бок} = c \cdot H$
Из условия известно, что $S_{бок} = 130$ см². Подставим известные значения и найдем высоту:
$130 = 13 \cdot H$
$H = \frac{130}{13} = 10$ см.

3. Нахождение объема призмы.
Теперь, зная площадь основания и высоту призмы, можем вычислить ее объем:
$V = S_{осн} \cdot H = 30 \text{ см}² \cdot 10 \text{ см} = 300$ см³.

Ответ: 300 см³.