Страница 168 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

579. Диагональ прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием равна 3,5 м, а диагональ его боковой грани равна 2,5 м. Тогда объем этого параллелепипеда равен:

1) $ 4 \text{м}^3 $;

2) $ 6 \text{м}^3 $;

3) $ 3,5 \text{м}^3 $;

4) $ 2,5 \text{м}^3 $;

5) $ 3 \text{м}^3 $.

Пусть сторона квадратного основания прямоугольного параллелепипеда равна $a$, а его высота равна $h$.

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда ($D$) равен сумме квадратов трёх его измерений (длины, ширины и высоты). Так как в основании лежит квадрат, длина и ширина равны $a$. Формула для квадрата диагонали: $D^2 = a^2 + a^2 + h^2 = 2a^2 + h^2$.

Из условия задачи известно, что диагональ параллелепипеда $D = 3,5$ м. Подставим это значение в формулу: $3,5^2 = 2a^2 + h^2$
$12,25 = 2a^2 + h^2$ (1)

Боковая грань представляет собой прямоугольник со сторонами $a$ и $h$. Квадрат её диагонали ($d$) по теореме Пифагора равен: $d^2 = a^2 + h^2$.

По условию, диагональ боковой грани $d = 2,5$ м. Подставим это значение: $2,5^2 = a^2 + h^2$
$6,25 = a^2 + h^2$ (2)

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
$ \begin{cases} 2a^2 + h^2 = 12,25 \\ a^2 + h^2 = 6,25 \end{cases} $

Чтобы найти $a^2$, вычтем второе уравнение из первого:
$(2a^2 + h^2) - (a^2 + h^2) = 12,25 - 6,25$
$a^2 = 6$ (м²).

Теперь подставим найденное значение $a^2 = 6$ во второе уравнение, чтобы найти высоту $h$:
$6 + h^2 = 6,25$
$h^2 = 6,25 - 6$
$h^2 = 0,25$
$h = \sqrt{0,25} = 0,5$ (м).

Объем прямоугольного параллелепипеда ($V$) равен произведению площади основания на высоту:
$V = S_{осн} \cdot h = a^2 \cdot h$.

Подставим вычисленные значения $a^2$ и $h$:
$V = 6 \cdot 0,5 = 3$ (м³).

Этот результат соответствует варианту ответа под номером 5.
Ответ: 3 м³.

580. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 8 дм и 17 дм и образуют угол $30^\circ$. Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна 1 $м^2$. Тогда объем этого параллелепипеда равен:

1) 136 $дм^3$;

2) 148 $дм^3$;

3) 1,5 $м^3$;

4) 1,6 $м^3$;

5) 2 $м^3$.

Для вычисления объема прямого параллелепипеда используется формула $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота. Чтобы найти объем, выполним следующие шаги:

1. Нахождение высоты параллелепипеда ($h$).
Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда ($S_{бок}$) равна произведению периметра его основания ($P_{осн}$) на высоту ($h$).
$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$.
Сначала приведем все единицы измерения к дециметрам. Площадь боковой поверхности дана как $1 \text{ м}^2$. Зная, что $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$, получаем:
$S_{бок} = 1 \text{ м}^2 = (10 \text{ дм})^2 = 100 \text{ дм}^2$.
Основанием является параллелограмм со сторонами $a = 8$ дм и $b = 17$ дм. Его периметр равен:
$P_{осн} = 2(a + b) = 2(8 + 17) = 2 \cdot 25 = 50$ дм.
Теперь можно найти высоту параллелепипеда:
$h = \frac{S_{бок}}{P_{осн}} = \frac{100 \text{ дм}^2}{50 \text{ дм}} = 2$ дм.

2. Нахождение площади основания ($S_{осн}$).
Площадь параллелограмма вычисляется по формуле $S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$, где $a$ и $b$ — смежные стороны, а $\alpha$ — угол между ними. В нашем случае $a=8$ дм, $b=17$ дм, и $\alpha=30^\circ$.
Значение синуса $30^\circ$ равно $0.5$.
$S_{осн} = 8 \cdot 17 \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot 17 \cdot 0.5 = 4 \cdot 17 = 68 \text{ дм}^2$.

3. Нахождение объема параллелепипеда ($V$).
Теперь, когда у нас есть площадь основания и высота, мы можем вычислить объем:
$V = S_{осн} \cdot h = 68 \text{ дм}^2 \cdot 2 \text{ дм} = 136 \text{ дм}^3$.

Полученный результат $136 \text{ дм}^3$ соответствует первому варианту ответа.

Ответ: 1) 136 дм³.

581. В наклонной призме построено сечение, пересекающее все боковые ребра и перпендикулярное им. Площадь сечения равна $1 \text{ дм}^2$, а боковое ребро равно $1 \text{ м}$. Тогда объем призмы равен:

1) $100 \text{ дм}^3$;

2) $10 \text{ дм}^3$;

3) $1000 \text{ дм}^3$;

4) $0,1 \text{ м}^3$;

5) $0,001 \text{ м}^3$.

Объем наклонной призмы может быть вычислен по формуле, связывающей площадь сечения, перпендикулярного боковым ребрам, и длину бокового ребра.

Формула для объема призмы: $V = S_{\perp} \cdot L$, где $V$ — объем призмы, $S_{\perp}$ — площадь перпендикулярного сечения, а $L$ — длина бокового ребра.

Согласно условию задачи, мы имеем:

Площадь перпендикулярного сечения: $S_{\perp} = 1 \text{ дм}^2$.

Длина бокового ребра: $L = 1 \text{ м}$.

Для проведения вычислений необходимо привести все величины к единой системе измерений. Варианты ответов представлены как в кубических дециметрах (дм³), так и в кубических метрах (м³). Выполним расчет в дециметрах.

Переведем длину бокового ребра из метров в дециметры. В одном метре 10 дециметров, поэтому:

$L = 1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$.

Теперь мы можем вычислить объем призмы, подставив известные значения в формулу:

$V = S_{\perp} \cdot L = 1 \text{ дм}^2 \cdot 10 \text{ дм} = 10 \text{ дм}^3$.

Полученный результат соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: 2) 10 дм³.

582. Грани параллелепипеда – равные ромбы со стороной 10 см и острым углом $60^\circ$. Тогда его объем равен:

1) 700 $\text{см}^3$;

2) 1000 $\text{см}^3$;

3) 250$\sqrt{2}$ $\text{см}^3$;

4) 0,5$\sqrt{3}$ $\text{дм}^3$;

5) 0,5$\sqrt{2}$ $\text{дм}^3$.

Поскольку все грани параллелепипеда являются равными ромбами, данный параллелепипед является ромбоэдром. Длина ребра ромбоэдра $a$ равна стороне ромба, то есть $a = 10$ см. Так как острый угол ромба равен $60°$, можно предположить, что все плоские углы при одной из вершин ромбоэдра равны $60°$.

Объем $V$ ромбоэдра с ребром $a$ и одинаковыми плоскими углами $\alpha$ при одной из вершин можно вычислить по формуле:

$V = a^3 \sqrt{1 - 3\cos^2\alpha + 2\cos^3\alpha}$

В нашем случае $a = 10$ см и $\alpha = 60°$. Найдем значение $\cos(60°)$:

$\cos(60°) = \frac{1}{2}$

Подставим значения в формулу объема:

$V = 10^3 \sqrt{1 - 3(\frac{1}{2})^2 + 2(\frac{1}{2})^3} = 1000 \sqrt{1 - 3 \cdot \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{1}{8}} = 1000 \sqrt{1 - \frac{3}{4} + \frac{1}{4}}$

$V = 1000 \sqrt{1 - \frac{2}{4}} = 1000 \sqrt{\frac{1}{2}} = 1000 \frac{1}{\sqrt{2}} = 1000 \frac{\sqrt{2}}{2} = 500\sqrt{2}$ см³.

Теперь сравним полученный результат с предложенными вариантами ответов. Некоторые варианты даны в кубических дециметрах (дм³). Переведем наш ответ в дм³. Мы знаем, что 1 дм = 10 см, следовательно, 1 дм³ = $10^3$ см³ = 1000 см³.

$V = 500\sqrt{2}$ см³ $= \frac{500\sqrt{2}}{1000}$ дм³ $= 0,5\sqrt{2}$ дм³.

Этот результат соответствует варианту ответа 5.

Ответ: 5) $0,5\sqrt{2}$ дм³.

583. Высота прямой четырехугольной призмы равна 4 см, а ее диагонали наклонены к основанию под углами $30^\circ$ и $45^\circ$. Острый угол между диа- гоналями основания равен $60^\circ$. Объем призмы равен:

1) $48 \text{ см}^3$; 4) $64 \text{ см}^3$;

2) $36 \text{ см}^3$; 5) $24\sqrt{3} \text{ см}^3$.

3) $24 \text{ см}^3$;

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы. По условию, высота призмы $h = 4$ см.

Площадь основания (в данном случае, произвольного четырехугольника) можно найти, зная длины его диагоналей $d_1$ и $d_2$ и угол $\gamma$ между ними, по формуле: $S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\gamma$.

По условию, острый угол между диагоналями основания $\gamma = 60^\circ$.

Чтобы найти длины диагоналей основания $d_1$ и $d_2$, рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные высотой призмы $h$, диагональю призмы и ее проекцией на основание (которая является диагональю основания). Угол наклона диагонали призмы к основанию — это угол между диагональю призмы и соответствующей диагональю основания.

Для первой диагонали основания $d_1$, соответствующая диагональ призмы наклонена к основанию под углом $30^\circ$. Из прямоугольного треугольника получаем соотношение:

$\tan(30^\circ) = \frac{h}{d_1}$

Отсюда находим $d_1$:

$d_1 = \frac{h}{\tan(30^\circ)} = \frac{4}{1/\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ см.

Для второй диагонали основания $d_2$, соответствующая диагональ призмы наклонена к основанию под углом $45^\circ$. Аналогично получаем:

$\tan(45^\circ) = \frac{h}{d_2}$

Отсюда находим $d_2$:

$d_2 = \frac{h}{\tan(45^\circ)} = \frac{4}{1} = 4$ см.

Теперь, зная длины обеих диагоналей основания и угол между ними, можем вычислить площадь основания:

$S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\gamma = \frac{1}{2} \cdot (4\sqrt{3}) \cdot 4 \cdot \sin(60^\circ)$

Так как $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{16 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{4} = \frac{16 \cdot 3}{4} = 12$ см².

Наконец, вычисляем объем призмы:

$V = S_{осн} \cdot h = 12 \text{ см}² \cdot 4 \text{ см} = 48$ см³.

Этот результат соответствует варианту ответа 1).

Ответ: 48 см³.

584. Ребро правильного тетраэдра равно 6 м. Тогда его объем равен:

1) $24 \text{ м}^3$;

2) $18\sqrt{2} \text{ м}^3$;

3) $24\sqrt{2} \text{ м}^3$;

4) $24\sqrt{3} \text{ м}^3$;

5) $25 \text{ м}^3$.

Объем правильного тетраэдра с длиной ребра $a$ находится по формуле:

$V = \frac{a^3 \sqrt{2}}{12}$

Согласно условию, длина ребра тетраэдра $a = 6$ м. Подставим это значение в формулу:

$V = \frac{6^3 \sqrt{2}}{12} = \frac{216 \sqrt{2}}{12}$

Выполнив деление, получаем:

$V = 18\sqrt{2}$ м³

Ответ: 2) $18\sqrt{2}$ м³.

585. Основание пирамиды – равнобедренный треугольник со сторонами 6 см, 6 см и 8 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 9 см. Объем этой пирамиды равен:

1) $ \frac{8}{9}\sqrt{3245} $ см$^3$;

2) $ \frac{8}{3}\sqrt{3245} $ см$^3$;

3) $ \frac{16}{3}\sqrt{95} $ см$^3$;

4) $ 114 $ см$^3$;

5) $ 48 $ см$^3$.

Для нахождения объема пирамиды используется формула $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Вычисление площади основания.
Основание пирамиды — это равнобедренный треугольник со сторонами 6 см, 6 см и 8 см. Для вычисления его площади найдем сначала высоту $h$, проведенную к основанию (стороне 8 см). В равнобедренном треугольнике эта высота также является медианой, поэтому она делит основание на два равных отрезка по 4 см.Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной (гипотенуза), высотой и половиной основания (катеты), получаем:
$h = \sqrt{6^2 - 4^2} = \sqrt{36 - 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ см.
Теперь можно найти площадь основания:
$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 2\sqrt{5} = 8\sqrt{5}$ см².

2. Вычисление высоты пирамиды.
По условию, все боковые ребра пирамиды равны ($l = 9$ см). Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около треугольника в основании. Высота пирамиды $H$, боковое ребро $l$ и радиус $R$ этой описанной окружности образуют прямоугольный треугольник, где $l$ — гипотенуза. Следовательно, $H^2 + R^2 = l^2$.
Найдем радиус $R$ описанной окружности по формуле $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника:
$R = \frac{6 \cdot 6 \cdot 8}{4 \cdot 8\sqrt{5}} = \frac{288}{32\sqrt{5}} = \frac{9}{\sqrt{5}}$ см.
Теперь найдем высоту пирамиды $H$ из соотношения $H = \sqrt{l^2 - R^2}$:
$H = \sqrt{9^2 - (\frac{9}{\sqrt{5}})^2} = \sqrt{81 - \frac{81}{5}} = \sqrt{\frac{405 - 81}{5}} = \sqrt{\frac{324}{5}} = \frac{18}{\sqrt{5}}$ см.

3. Вычисление объема пирамиды.
Подставим найденные значения площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$ в формулу для объема пирамиды:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 8\sqrt{5} \cdot \frac{18}{\sqrt{5}}$.
Сокращая $\sqrt{5}$, получаем:
$V = \frac{1}{3} \cdot 8 \cdot 18 = 8 \cdot 6 = 48$ см³.
Данное значение соответствует варианту ответа 5).
Ответ: 48 см³.