Номер 585, страница 168 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

585. Основание пирамиды – равнобедренный треугольник со сторонами 6 см, 6 см и 8 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 9 см. Объем этой пирамиды равен:

1) $ \frac{8}{9}\sqrt{3245} $ см$^3$;

2) $ \frac{8}{3}\sqrt{3245} $ см$^3$;

3) $ \frac{16}{3}\sqrt{95} $ см$^3$;

4) $ 114 $ см$^3$;

5) $ 48 $ см$^3$.

Для нахождения объема пирамиды используется формула $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Вычисление площади основания.
Основание пирамиды — это равнобедренный треугольник со сторонами 6 см, 6 см и 8 см. Для вычисления его площади найдем сначала высоту $h$, проведенную к основанию (стороне 8 см). В равнобедренном треугольнике эта высота также является медианой, поэтому она делит основание на два равных отрезка по 4 см.Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной (гипотенуза), высотой и половиной основания (катеты), получаем:
$h = \sqrt{6^2 - 4^2} = \sqrt{36 - 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ см.
Теперь можно найти площадь основания:
$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 2\sqrt{5} = 8\sqrt{5}$ см².

2. Вычисление высоты пирамиды.
По условию, все боковые ребра пирамиды равны ($l = 9$ см). Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около треугольника в основании. Высота пирамиды $H$, боковое ребро $l$ и радиус $R$ этой описанной окружности образуют прямоугольный треугольник, где $l$ — гипотенуза. Следовательно, $H^2 + R^2 = l^2$.
Найдем радиус $R$ описанной окружности по формуле $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника:
$R = \frac{6 \cdot 6 \cdot 8}{4 \cdot 8\sqrt{5}} = \frac{288}{32\sqrt{5}} = \frac{9}{\sqrt{5}}$ см.
Теперь найдем высоту пирамиды $H$ из соотношения $H = \sqrt{l^2 - R^2}$:
$H = \sqrt{9^2 - (\frac{9}{\sqrt{5}})^2} = \sqrt{81 - \frac{81}{5}} = \sqrt{\frac{405 - 81}{5}} = \sqrt{\frac{324}{5}} = \frac{18}{\sqrt{5}}$ см.

3. Вычисление объема пирамиды.
Подставим найденные значения площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$ в формулу для объема пирамиды:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 8\sqrt{5} \cdot \frac{18}{\sqrt{5}}$.
Сокращая $\sqrt{5}$, получаем:
$V = \frac{1}{3} \cdot 8 \cdot 18 = 8 \cdot 6 = 48$ см³.
Данное значение соответствует варианту ответа 5).
Ответ: 48 см³.