Номер 588, страница 169 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

588. Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды равны 12 см и 10 см, а двугранный угол при ребре нижнего основания равен $45^\circ$. Объем этой пирамиды равен:

1) $121\frac{1}{3} \text{ см}^3$;

2) $91 \text{ см}^3$;

3) $60\frac{2}{3} \text{ см}^3$;

4) $45,5 \text{ см}^3$;

5) $30\frac{1}{3} \text{ см}^3$.

Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3}H(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

где $H$ – высота пирамиды, $S_1$ и $S_2$ – площади нижнего и верхнего оснований соответственно.

Основаниями данной пирамиды являются правильные (равносторонние) треугольники. Площадь правильного треугольника со стороной $a$ равна $S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Найдем площадь нижнего основания со стороной $a_1 = 12$ см:

$S_1 = \frac{12^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{144\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}$ см².

Найдем площадь верхнего основания со стороной $a_2 = 10$ см:

$S_2 = \frac{10^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3}$ см².

Далее найдем высоту пирамиды $H$. Двугранный угол при ребре нижнего основания в $45°$ – это угол между боковой гранью и плоскостью нижнего основания. Этот угол можно найти в сечении, перпендикулярном ребру основания, которое содержит апофему боковой грани. Рассмотрим трапецию, образованную высотой пирамиды $H$, апофемами оснований (радиусами вписанных окружностей $r_1$ и $r_2$) и апофемой боковой грани.

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Радиус для нижнего основания: $r_1 = \frac{12\sqrt{3}}{6} = 2\sqrt{3}$ см.

Радиус для верхнего основания: $r_2 = \frac{10\sqrt{3}}{6} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$ см.

Высота $H$ связана с радиусами и двугранным углом $\alpha = 45°$ через соотношение в прямоугольном треугольнике: $\tan(\alpha) = \frac{H}{r_1 - r_2}$.

Поскольку $\tan(45°) = 1$, то высота $H$ равна разности радиусов:

$H = r_1 - r_2 = 2\sqrt{3} - \frac{5\sqrt{3}}{3} = \frac{6\sqrt{3} - 5\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

Теперь мы можем вычислить объем усеченной пирамиды. Сначала найдем среднее геометрическое площадей оснований:

$\sqrt{S_1 S_2} = \sqrt{36\sqrt{3} \cdot 25\sqrt{3}} = \sqrt{36 \cdot 25 \cdot (\sqrt{3})^2} = \sqrt{900 \cdot 3} = 30\sqrt{3}$ см².

Подставим все найденные значения в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot H \cdot (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (36\sqrt{3} + 25\sqrt{3} + 30\sqrt{3})$.

$V = \frac{\sqrt{3}}{9} \cdot (91\sqrt{3}) = \frac{91 \cdot (\sqrt{3})^2}{9} = \frac{91 \cdot 3}{9} = \frac{91}{3}$ см³.

Переводя в смешанную дробь, получаем:

$V = 30\frac{1}{3}$ см³.

Ответ: $30\frac{1}{3}$ см³.