Номер 589, страница 169 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

589. Стороны оснований правильной усеченной четырехугольной пирамиды равны $5\sqrt{2}$ и $2\sqrt{2}$, а ее боковое ребро наклонено к основанию под углом $60^\circ$. Тогда объем этой пирамиды равен:

1) $78\sqrt{3}$;

2) $58\sqrt{3} + 50\sqrt{6}$;

3) $234\sqrt{3}$;

4) $\frac{78\sqrt{3}}{3}$;

5) $80\sqrt{3}$.

Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3}H(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$, где $H$ – высота пирамиды, а $S_1$ и $S_2$ – площади ее оснований.

1. Найдем площади оснований.

Основаниями правильной четырехугольной усеченной пирамиды являются квадраты. Площадь большего основания со стороной $a_1 = 5\sqrt{2}$ равна:

$$S_1 = a_1^2 = (5\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50$$

Площадь меньшего основания со стороной $a_2 = 2\sqrt{2}$ равна:

$$S_2 = a_2^2 = (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$$

2. Найдем высоту пирамиды H.

Высоту пирамиды можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой $H$, боковым ребром и его проекцией на плоскость большего основания. Угол между боковым ребром и его проекцией (угол наклона к основанию) по условию равен $60^\circ$.

Длина проекции бокового ребра на плоскость большего основания равна разности полудиагоналей оснований.

Диагональ квадрата со стороной $a$ вычисляется по формуле $d = a\sqrt{2}$.

Диагональ большего основания: $d_1 = 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 10$.

Диагональ меньшего основания: $d_2 = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 4$.

Длина проекции бокового ребра, обозначим ее $p$, равна:

$$p = \frac{d_1 - d_2}{2} = \frac{10 - 4}{2} = 3$$

В указанном прямоугольном треугольнике высота $H$ является катетом, противолежащим углу $60^\circ$, а проекция $p$ – прилежащим катетом. Таким образом, их соотношение выражается через тангенс угла:

$$\tan(60^\circ) = \frac{H}{p}$$

Отсюда находим высоту:

$$H = p \cdot \tan(60^\circ) = 3 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$$

3. Вычислим объем пирамиды.

Подставляем найденные значения $S_1=50$, $S_2=8$ и $H=3\sqrt{3}$ в формулу объема:

$$V = \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{3} \cdot (50 + 8 + \sqrt{50 \cdot 8})$$

Упрощаем выражение:

$$V = \sqrt{3} \cdot (58 + \sqrt{400})$$

$$V = \sqrt{3} \cdot (58 + 20)$$

$$V = 78\sqrt{3}$$

Полученный результат совпадает с вариантом ответа 1).

Ответ: $78\sqrt{3}$