Номер 586, страница 169 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

586. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2 дм, а двугранный угол между основанием и боковой гранью равен 45°.

Объем пирамиды равен:

1) $8 \text{ дм}^3$;

2) $10 \text{ дм}^3$;

3) $6 \text{ дм}^3$;

4) $4\sqrt{2} \text{ дм}^3$;

5) $6\sqrt{2} \text{ дм}^3$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Найдем площадь основания

Основанием пирамиды является правильный шестиугольник со стороной $a = 2$ дм. Площадь правильного шестиугольника можно вычислить как сумму площадей шести равносторонних треугольников со стороной $a$.

Площадь одного такого равностороннего треугольника равна $S_{\triangle} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Следовательно, площадь всего основания равна:

$S_{осн} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}$.

Подставив значение стороны $a = 2$ дм, получаем:

$S_{осн} = \frac{3 \cdot 2^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 4 \cdot \sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ дм².

Найдем высоту пирамиды

Двугранный угол между основанием и боковой гранью, равный $45^\circ$, представляет собой угол между апофемой боковой грани (высотой боковой грани, опущенной на сторону основания) и апофемой основания (радиусом вписанной в основание окружности), проведенными к одной и той же стороне основания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой основания $r$ и апофемой боковой грани. В этом треугольнике $H$ и $r$ являются катетами, а угол между апофемой основания и апофемой боковой грани равен $45^\circ$.

Апофема $r$ правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Подставляем $a = 2$ дм:

$r = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ дм.

В рассматриваемом прямоугольном треугольнике тангенс угла в $45^\circ$ равен отношению противолежащего катета (высоты $H$) к прилежащему катету (апофеме основания $r$):

$\text{tg}(45^\circ) = \frac{H}{r}$.

Поскольку $\text{tg}(45^\circ) = 1$, то $H = r$.

Таким образом, высота пирамиды $H = \sqrt{3}$ дм.

Вычислим объем пирамиды

Теперь мы можем подставить найденные значения площади основания и высоты в формулу для объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 3 = 6$ дм³.

Этот результат соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 6 дм³.