Номер 595, страница 170 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

595. В шар радиуса 3 дм вписан конус, образующая которого составляет с высотой конуса угол 60°. Объем этого конуса равен:

1) $3\pi$ дм$^3$;

2) $4\pi$ дм$^3$;

3) $\frac{27\pi}{8}$ дм$^3$;

4) $\frac{29\pi}{9}$ дм$^3$;

5) $3,5\pi$ дм$^3$.

Обозначим радиус шара как $R$, а радиус основания, высоту и образующую вписанного конуса как $r$, $h$ и $l$ соответственно. По условию задачи $R=3$ дм, а угол между образующей $l$ и высотой $h$ конуса составляет $60^\circ$. Требуется найти объем конуса $V$.

Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. Для нахождения объема необходимо определить $r$ и $h$.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник. Высота этого треугольника является высотой конуса $h$, половина основания – радиусом основания конуса $r$, а боковая сторона – образующей конуса $l$. Эти три элемента образуют прямоугольный треугольник, в котором угол между катетом $h$ и гипотенузой $l$ равен $60^\circ$. Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике имеем:$\tan(60^\circ) = \frac{r}{h}$Отсюда находим связь между радиусом и высотой конуса:$r = h \cdot \tan(60^\circ) = h\sqrt{3}$.

Теперь рассмотрим осевое сечение шара со вписанным конусом. Это окружность радиуса $R$, в которую вписан равнобедренный треугольник (осевое сечение конуса). Пусть $O$ – центр шара (и окружности). Свяжем размеры конуса с радиусом шара. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара $R$ (как гипотенузой), радиусом основания конуса $r$ (как одним катетом) и отрезком на оси конуса, соединяющим центр шара $O$ с центром основания конуса (как другим катетом). Длина этого отрезка равна $|h-R|$. По теореме Пифагора:$(h-R)^2 + r^2 = R^2$.

Подставим выражение $r = h\sqrt{3}$ в полученное уравнение:$(h-R)^2 + (h\sqrt{3})^2 = R^2$$h^2 - 2hR + R^2 + 3h^2 = R^2$$4h^2 - 2hR = 0$$2h(2h - R) = 0$Поскольку высота конуса $h$ не может быть равна нулю ($h \neq 0$), решением является:$2h - R = 0 \implies h = \frac{R}{2}$.

Подставив данное значение $R=3$ дм, находим высоту конуса:$h = \frac{3}{2}$ дм.Теперь находим радиус основания конуса:$r = h\sqrt{3} = \frac{3}{2}\sqrt{3}$ дм.

Наконец, вычисляем объем конуса:$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2 \left(\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{9 \cdot 3}{4}\right) \left(\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{27}{4} \cdot \frac{3}{2} = \frac{81\pi}{24}$.Сократив дробь на 3, получаем окончательный результат:$V = \frac{27\pi}{8}$ дм$^3$.

Ответ: $ \frac{27\pi}{8} $ дм$^3$.