Номер 600, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

600. Прямоугольная трапеция, основания которой равны $\sqrt{3}$ дм и $4\sqrt{3}$ дм, вращается вокруг ее меньшей боковой стороны. Найдите объем тела вращения, если известно, что большая боковая сторона трапеции составляет с ее меньшим основанием угол $150^\circ$.

При вращении прямоугольной трапеции вокруг ее меньшей боковой стороны, которая является высотой трапеции, образуется усеченный конус. Радиусами оснований этого конуса служат основания трапеции, а его высота равна высоте трапеции.

Пусть даны основания трапеции $b = \sqrt{3}$ дм и $B = 4\sqrt{3}$ дм. Тогда радиусы оснований усеченного конуса равны $r = \sqrt{3}$ дм и $R = 4\sqrt{3}$ дм.

Для нахождения объема тела вращения необходимо определить высоту трапеции $h$, которая будет являться высотой усеченного конуса $H$.

Рассмотрим прямоугольную трапецию $ABCD$, где $AD$ — меньшая боковая сторона (высота), а $AB$ и $DC$ — основания ($AB > DC$). Таким образом, $\angle A = \angle D = 90^\circ$. По условию, большая боковая сторона $BC$ составляет с меньшим основанием $DC$ угол $150^\circ$, то есть $\angle BCD = 150^\circ$.

Проведем из вершины $C$ высоту $CE$ на основание $AB$. Фигура $ADCE$ является прямоугольником, поэтому $CE = AD = h$ и $AE = DC = \sqrt{3}$ дм. Угол $\angle DCE = 90^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CEB$. Длина катета $EB$ равна разности оснований трапеции:$EB = AB - AE = 4\sqrt{3} - \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ дм.

Угол $\angle BCE$ в этом треугольнике можно найти как разность:$\angle BCE = \angle BCD - \angle DCE = 150^\circ - 90^\circ = 60^\circ$.

Теперь из треугольника $CEB$ найдем высоту $h=CE$. Катеты $CE$ и $EB$ связаны через тангенс угла $\angle BCE$:$\tan(\angle BCE) = \frac{EB}{CE}$$\tan(60^\circ) = \frac{3\sqrt{3}}{h}$Так как $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, получаем:$\sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{h}$Отсюда $h=3$ дм. Итак, высота усеченного конуса $H = 3$ дм.

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:$V = \frac{1}{3}\pi H(R^2 + Rr + r^2)$Подставим найденные значения:$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 3 \cdot ((4\sqrt{3})^2 + (4\sqrt{3})(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2)$$V = \pi (16 \cdot 3 + 4 \cdot 3 + 3)$$V = \pi (48 + 12 + 3)$$V = 63\pi$ дм³.

Ответ: $63\pi$ дм³.