Страница 178 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

641. Площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды, высота которой равна 6 см, а апофема – 6,5 см, равна:

1) 78 $cm^2$;

2) 80 $cm^2$;

3) 90 $cm^2$;

4) 100 $cm^2$;

5) 120 $cm^2$.

Площадь полной поверхности правильной пирамиды $S_{полн}$ вычисляется как сумма площади ее основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

Так как пирамида правильная четырехугольная, в ее основании лежит квадрат. Обозначим сторону квадрата как $a$.

Высота пирамиды $H$, ее апофема (высота боковой грани) $l$ и половина стороны основания $a/2$ образуют прямоугольный треугольник. Апофема $l$ является гипотенузой этого треугольника. Согласно теореме Пифагора:

$l^2 = H^2 + (a/2)^2$

Нам известны высота $H = 6$ см и апофема $l = 6,5$ см. Найдем половину стороны основания $a/2$:

$(a/2)^2 = l^2 - H^2$

$(a/2)^2 = (6,5)^2 - 6^2 = 42,25 - 36 = 6,25$

$a/2 = \sqrt{6,25} = 2,5$ см

Теперь найдем длину стороны основания $a$:

$a = 2,5 \times 2 = 5$ см

Площадь основания (квадрата) равна:

$S_{осн} = a^2 = 5^2 = 25$ см².

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ для правильной пирамиды вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l$, где $P$ - периметр основания.

Периметр основания (квадрата) равен:

$P = 4a = 4 \times 5 = 20$ см

Вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2} \times 20 \times 6,5 = 10 \times 6,5 = 65$ см².

Наконец, находим площадь полной поверхности пирамиды:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 25 + 65 = 90$ см².

Ответ: 90 см².

642. Основание пирамиды – трапеция с боковыми сторонами 8 см и 10 см, каждая ее боковая грань наклонена к основанию под углом $60^\circ$, высота пирамиды равна $4\sqrt{3}\text{ см}$. Тогда площадь ее полной поверхности равна:

1) $96\sqrt{3}\text{ см}^2$;

2) $144\text{ см}^2$;

3) $200\text{ см}^2$;

4) $216\text{ см}^2$;

5) $360\text{ см}^2$.

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ равна сумме площади ее основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

Так как все боковые грани пирамиды наклонены к основанию под одним и тем же углом $\alpha = 60^{\circ}$, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание. Это означает, что в трапецию, лежащую в основании, можно вписать окружность.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной в основание окружности $r$ и апофемой $h_a$ (высотой боковой грани). В этом треугольнике катет $H$ противолежит углу $\alpha$, а катет $r$ прилежит к нему. Следовательно, их связывает соотношение:

$\tan(\alpha) = \frac{H}{r}$

Отсюда найдем радиус вписанной окружности, зная, что высота пирамиды $H = 4\sqrt{3}$ см:

$r = \frac{H}{\tan(\alpha)} = \frac{4\sqrt{3}}{\tan(60^{\circ})} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4$ см.

Теперь найдем площадь основания. Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности: $h_{трап} = 2r = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Для трапеции, в которую можно вписать окружность, справедливо свойство: сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$, а боковые стороны $c=8$ см и $d=10$ см. Тогда:

$a + b = c + d = 8 + 10 = 18$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h_{трап} = \frac{18}{2} \cdot 8 = 9 \cdot 8 = 72$ см².

Площадь боковой поверхности пирамиды, у которой все грани наклонены под одним углом $\alpha$ к основанию, можно найти по формуле:

$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos(\alpha)}$

Подставим известные значения:

$S_{бок} = \frac{72}{\cos(60^{\circ})} = \frac{72}{1/2} = 144$ см².

Наконец, найдем площадь полной поверхности пирамиды:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 72 + 144 = 216$ см².

Этот результат соответствует варианту ответа 4).

Ответ: 4) 216 см².

643. На поверхности шара лежат три точки $A$, $B$ и $C$ такие, что $AB = BC = AC = 1,5 \text{ см}$. Расстояние от центра шара до плоскости треугольника $ABC$ равно $1,5 \text{ см}$. Площадь поверхности шара равна:

1) $24\pi \text{ см}^2$;

2) $21\pi \text{ см}^2$;

3) $12\pi \text{ см}^2$;

4) $6\pi \text{ см}^2$;

5) $4\pi \text{ см}^2$.

Для нахождения площади поверхности шара необходимо сначала определить его радиус $R$. Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$.

1. Анализ геометрической конфигурации
Точки $A$, $B$, и $C$ лежат на поверхности шара и образуют равносторонний треугольник со стороной $a = 1,5$ см, так как $AB = BC = AC = 1,5$ см. Эти точки определяют плоскость, которая пересекает шар по окружности. Эта окружность является описанной для треугольника $ABC$.

2. Нахождение радиуса окружности в сечении
Пусть $r$ - это радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника $ABC$. Его можно найти по формуле, связывающей сторону равностороннего треугольника $a$ и радиус описанной окружности $r$:
$r = \frac{a}{\sqrt{3}}$
Подставив значение $a = 1,5$ см, получим:
$r = \frac{1,5}{\sqrt{3}}$ см.

3. Нахождение радиуса шара
Пусть $O$ - центр шара, а $P$ - центр описанной окружности треугольника $ABC$ (который также является проекцией центра шара на плоскость треугольника). Расстояние от центра шара до плоскости треугольника, по условию, равно $d = OP = 1,5$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OPA$, где:
- $OA$ - гипотенуза, равная радиусу шара $R$.
- $OP$ - катет, равный расстоянию $d = 1,5$ см.
- $PA$ - катет, равный радиусу описанной окружности $r = \frac{1,5}{\sqrt{3}}$ см.
По теореме Пифагора: $R^2 = d^2 + r^2$.
Подставим известные значения:
$R^2 = (1,5)^2 + \left(\frac{1,5}{\sqrt{3}}\right)^2$
$R^2 = 2,25 + \frac{1,5^2}{(\sqrt{3})^2} = 2,25 + \frac{2,25}{3} = 2,25 + 0,75 = 3$ см$^2$.

4. Вычисление площади поверхности шара
Теперь, зная квадрат радиуса шара $R^2 = 3$ см$^2$, можем вычислить площадь его поверхности $S$:
$S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 3 = 12\pi$ см$^2$.

Полученный результат $12\pi$ см$^2$ соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: $12\pi$ см$^2$.

644. Резервуар состоит из цилиндра, закрытого сверху полушаром. Внутренний диаметр основания цилиндра равен 12 м, а высота цилиндра – 4 м. Емкость этого резервуара равна:

1) 800 $m^3$;

2) 750 $m^3$;

3) 300$\pi$ $m^3$;

4) 298$\pi$ $m^3$;

5) 288$\pi$ $m^3$.

Емкость резервуара равна сумме объемов цилиндра и полушара, из которых он состоит. Общий объем $V$ равен $V = V_{цилиндра} + V_{полушара}$.

1. Найдем радиус основания. По условию, внутренний диаметр основания цилиндра $d = 12$ м. Радиус $r$ равен половине диаметра:
$r = d / 2 = 12 / 2 = 6$ м.

2. Вычислим объем цилиндрической части. Высота цилиндра $h = 4$ м. Объем цилиндра вычисляется по формуле $V_{цилиндра} = \pi r^2 h$.
Подставим известные значения:
$V_{цилиндра} = \pi \cdot (6)^2 \cdot 4 = \pi \cdot 36 \cdot 4 = 144\pi$ м³.

3. Вычислим объем полушара. Полушар закрывает цилиндр сверху, поэтому его радиус равен радиусу основания цилиндра, то есть $r = 6$ м.
Объем полушара равен половине объема шара: $V_{полушара} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{4}{3}\pi r^3) = \frac{2}{3}\pi r^3$.
Подставим значение радиуса:
$V_{полушара} = \frac{2}{3}\pi \cdot (6)^3 = \frac{2}{3}\pi \cdot 216 = 2\pi \cdot 72 = 144\pi$ м³.

4. Найдем общую емкость резервуара. Сложим объемы цилиндра и полушара:
$V = V_{цилиндра} + V_{полушара} = 144\pi + 144\pi = 288\pi$ м³.

Этот результат соответствует варианту 5).
Ответ: 5) $288\pi$ м³.

645. Угол при вершине осевого сечения конуса равен $60^\circ$. Центральный угол в развертке боковой поверхности этого конуса равен:

Пусть $l$ — образующая конуса, а $r$ — радиус его основания. Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, боковыми сторонами которого являются образующие $l$, а основанием — диаметр основания конуса $2r$.

По условию задачи, угол при вершине этого треугольника равен $60^\circ$. Так как треугольник равнобедренный, углы при его основании равны и вычисляются как $(180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ$. Это означает, что осевое сечение является равносторонним треугольником.

В равностороннем треугольнике все стороны равны, следовательно, образующая конуса равна диаметру его основания:

$l = 2r$

Отсюда можно найти отношение радиуса основания к образующей:

$\frac{r}{l} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}$

Развертка боковой поверхности конуса — это круговой сектор, радиус которого равен образующей конуса $l$, а длина дуги этого сектора равна длине окружности основания конуса, то есть $C = 2\pi r$.

Центральный угол развертки, обозначим его $\beta$, можно найти по формуле, связывающей его с радиусом основания и образующей:

$\beta = \frac{r}{l} \cdot 360^\circ$

Подставим в эту формулу найденное нами отношение $\frac{r}{l}$:

$\beta = \frac{1}{2} \cdot 360^\circ = 180^\circ$

Таким образом, центральный угол в развертке боковой поверхности этого конуса равен $180^\circ$. Это соответствует варианту ответа 2).

Ответ: 2) 180°

646. Если объем шара, вписанного в равносторонний конус, равен $10\frac{2}{3}\pi \text{ см}^3$,

то объем этого конуса равен:

1) $24\pi \text{ см}^3$;

2) $20\pi \text{ см}^3$;

3) $25\pi \text{ см}^3$;

4) $24\frac{1}{3}\pi \text{ см}^3$;

5) $21\pi \text{ см}^3$.

Для решения задачи найдем сначала радиус вписанного шара, используя его объем. Затем, зная, что конус равносторонний, установим связь между радиусом шара и параметрами конуса (высотой и радиусом основания). Наконец, вычислим объем конуса.

1. Нахождение радиуса вписанного шара
Объем шара ($V_{\text{ш}}$) задан как $10\frac{2}{3}\pi \text{ см}^3$. Переведем это значение в неправильную дробь:
$V_{\text{ш}} = \frac{10 \cdot 3 + 2}{3}\pi = \frac{32}{3}\pi \text{ см}^3$.
Формула для объема шара радиусом $r$: $V_{\text{ш}} = \frac{4}{3}\pi r^3$.
Приравняем два выражения для объема, чтобы найти $r$:
$\frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{32}{3}\pi$
Сократив на $\frac{\pi}{3}$, получим:
$4r^3 = 32$
$r^3 = 8$
$r = 2$ см.

2. Определение параметров конуса
В равностороннем конусе осевое сечение является равносторонним треугольником. Радиус вписанного шара ($r$) равен радиусу окружности, вписанной в этот треугольник. Радиус вписанной окружности в равностороннем треугольнике составляет одну треть его высоты ($H$):
$r = \frac{1}{3}H$.
Зная $r = 2$ см, находим высоту конуса:
$H = 3r = 3 \cdot 2 = 6$ см.
Высота $H$ и радиус основания $R$ равностороннего конуса связаны соотношением $H = R\sqrt{3}$. Отсюда найдем радиус основания:
$R = \frac{H}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

3. Вычисление объема конуса
Объем конуса ($V_{\text{к}}$) вычисляется по формуле: $V_{\text{к}} = \frac{1}{3}\pi R^2 H$.
Подставим найденные значения $R = 2\sqrt{3}$ см и $H = 6$ см:
$V_{\text{к}} = \frac{1}{3}\pi (2\sqrt{3})^2 \cdot 6$
$V_{\text{к}} = \frac{1}{3}\pi (4 \cdot 3) \cdot 6$
$V_{\text{к}} = \frac{1}{3}\pi \cdot 12 \cdot 6$
$V_{\text{к}} = 4\pi \cdot 6 = 24\pi \text{ см}^3$.

Ответ: $24\pi \text{ см}^3$.

647. Образующая конуса наклонена к его основанию под углом $45^\circ$. Построено сечение конуса, содержащее две образующие. Если сечение наклонено к основанию под углом $60^\circ$ и удалено от центра основания на $2\sqrt{3}$ см, то его площадь равна:

1) $64\sqrt{2}$ см$^{\text{2}}$;

2) 64 см$^{\text{2}};$

3) 48 см$^{\text{2}};$

4) $32\sqrt{2}$ см$^{\text{2}};$

5) $24\sqrt{2}$ см$^{\text{2}}.$

Пусть $S$ — вершина конуса, $O$ — центр его основания, $R$ — радиус основания, $H$ — высота конуса, а $L$ — длина образующей. По условию, образующая наклонена к основанию под углом $45^\circ$. Рассмотрим осевое сечение конуса, которое является равнобедренным прямоугольным треугольником. Отсюда следует, что высота конуса равна радиусу его основания: $H = R$. Также из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом и образующей, получаем $L = \sqrt{H^2 + R^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$.

Сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник $SAB$, где $S$ — вершина конуса, а $A$ и $B$ — точки на окружности основания. Стороны $SA$ и $SB$ являются образующими, т.е. $SA = SB = L$. Основание этого треугольника — хорда $AB$.

Угол наклона сечения к основанию — это двугранный угол между плоскостью сечения $(SAB)$ и плоскостью основания. Пусть $M$ — середина хорды $AB$. Тогда $OM \perp AB$ (как медиана и высота в равнобедренном треугольнике $OAB$) и $SM \perp AB$ (как медиана и высота в равнобедренном треугольнике $SAB$). Следовательно, угол $\angle SMO$ является линейным углом этого двугранного угла. По условию, $\angle SMO = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $SMO$. Он является прямоугольным, так как высота конуса $SO$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе $OM$. Таким образом, $\angle SOM = 90^\circ$.

Расстояние от центра основания $O$ до плоскости сечения $(SAB)$ равно длине перпендикуляра $OK$, опущенного из точки $O$ на плоскость $(SAB)$. Этот перпендикуляр лежит в плоскости $SMO$ (так как плоскость $SMO$ перпендикулярна линии пересечения плоскостей $AB$), и его основание $K$ лежит на прямой $SM$. Таким образом, $OK$ — это высота прямоугольного треугольника $SMO$, проведенная к гипотенузе $SM$. По условию, $OK = 2\sqrt{3}$ см.

В прямоугольном треугольнике $OKM$ (с прямым углом $K$) мы знаем катет $OK = 2\sqrt{3}$ и угол $\angle OMK = \angle SMO = 60^\circ$. Тогда гипотенуза $OM$ равна: $OM = \frac{OK}{\sin(\angle OMK)} = \frac{2\sqrt{3}}{\sin(60^\circ)} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2} = 4$ см.

Теперь из прямоугольного треугольника $SMO$ найдем высоту конуса $H = SO$ и высоту сечения $SM$: $H = SO = OM \cdot \tan(\angle SMO) = 4 \cdot \tan(60^\circ) = 4\sqrt{3}$ см. $SM = \frac{OM}{\cos(\angle SMO)} = \frac{4}{\cos(60^\circ)} = \frac{4}{1/2} = 8$ см.

Так как $H = R$, то радиус основания $R = 4\sqrt{3}$ см.

Далее найдем длину хорды $AB$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OMA$ в плоскости основания. По теореме Пифагора: $AM^2 = OA^2 - OM^2 = R^2 - OM^2 = (4\sqrt{3})^2 - 4^2 = 48 - 16 = 32$. $AM = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см. Длина хорды $AB = 2 \cdot AM = 2 \cdot 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ см.

Наконец, вычислим площадь сечения — треугольника $SAB$: $S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot 8 = 32\sqrt{2}$ см².

Этот результат соответствует варианту ответа 4).

Ответ: $32\sqrt{2}$ см².