Номер 643, страница 178 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

643. На поверхности шара лежат три точки $A$, $B$ и $C$ такие, что $AB = BC = AC = 1,5 \text{ см}$. Расстояние от центра шара до плоскости треугольника $ABC$ равно $1,5 \text{ см}$. Площадь поверхности шара равна:

1) $24\pi \text{ см}^2$;

2) $21\pi \text{ см}^2$;

3) $12\pi \text{ см}^2$;

4) $6\pi \text{ см}^2$;

5) $4\pi \text{ см}^2$.

Для нахождения площади поверхности шара необходимо сначала определить его радиус $R$. Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$.

1. Анализ геометрической конфигурации
Точки $A$, $B$, и $C$ лежат на поверхности шара и образуют равносторонний треугольник со стороной $a = 1,5$ см, так как $AB = BC = AC = 1,5$ см. Эти точки определяют плоскость, которая пересекает шар по окружности. Эта окружность является описанной для треугольника $ABC$.

2. Нахождение радиуса окружности в сечении
Пусть $r$ - это радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника $ABC$. Его можно найти по формуле, связывающей сторону равностороннего треугольника $a$ и радиус описанной окружности $r$:
$r = \frac{a}{\sqrt{3}}$
Подставив значение $a = 1,5$ см, получим:
$r = \frac{1,5}{\sqrt{3}}$ см.

3. Нахождение радиуса шара
Пусть $O$ - центр шара, а $P$ - центр описанной окружности треугольника $ABC$ (который также является проекцией центра шара на плоскость треугольника). Расстояние от центра шара до плоскости треугольника, по условию, равно $d = OP = 1,5$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OPA$, где:
- $OA$ - гипотенуза, равная радиусу шара $R$.
- $OP$ - катет, равный расстоянию $d = 1,5$ см.
- $PA$ - катет, равный радиусу описанной окружности $r = \frac{1,5}{\sqrt{3}}$ см.
По теореме Пифагора: $R^2 = d^2 + r^2$.
Подставим известные значения:
$R^2 = (1,5)^2 + \left(\frac{1,5}{\sqrt{3}}\right)^2$
$R^2 = 2,25 + \frac{1,5^2}{(\sqrt{3})^2} = 2,25 + \frac{2,25}{3} = 2,25 + 0,75 = 3$ см$^2$.

4. Вычисление площади поверхности шара
Теперь, зная квадрат радиуса шара $R^2 = 3$ см$^2$, можем вычислить площадь его поверхности $S$:
$S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 3 = 12\pi$ см$^2$.

Полученный результат $12\pi$ см$^2$ соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: $12\pi$ см$^2$.