Номер 649, страница 179 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

649. Наибольший объем правильной четырехугольной пирамиды, вписанной в сферу радиуса 9 см, равен:

1) 576 $\text{см}^3$;

2) 600 $\text{см}^3$;

3) 640 $\text{см}^3$;

4) 536 $\text{см}^3$;

5) 729 $\text{см}^3$.

Пусть $R$ — радиус сферы, в которую вписана правильная четырехугольная пирамида. По условию $R = 9$ см. Обозначим высоту пирамиды как $h$, а сторону ее квадратного основания как $a$.
Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} a^2 h$.
Для нахождения наибольшего объема необходимо выразить объем как функцию одной переменной, например, высоты $h$.
Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через ее вершину и диагональ основания. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, вписанный в большую окружность сферы радиуса $R$. Основанием этого треугольника является диагональ квадрата $d = a\sqrt{2}$, а высотой — высота пирамиды $h$.
Центр описанной сферы лежит на высоте пирамиды. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы $R$, проведенным к вершине основания, половиной диагонали основания $\frac{d}{2}$ и отрезком на высоте пирамиды, соединяющим центр сферы и центр основания. Длина этого отрезка равна $|h-R|$.
По теореме Пифагора:
$R^2 = (\frac{d}{2})^2 + (h-R)^2$.
$R^2 = (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 + h^2 - 2hR + R^2$.
$0 = \frac{2a^2}{4} + h^2 - 2hR$.
$\frac{a^2}{2} = 2hR - h^2$.
$a^2 = 4hR - 2h^2 = 2h(2R - h)$.
Это соотношение справедливо для $h \in (0, 2R)$.
Подставим полученное выражение для $a^2$ в формулу объема:
$V(h) = \frac{1}{3} a^2 h = \frac{1}{3} (4hR - 2h^2) h = \frac{2}{3} (2Rh^2 - h^3)$.
Чтобы найти максимальное значение объема, исследуем эту функцию на экстремум. Найдем производную функции $V(h)$ по $h$ и приравняем ее к нулю:
$V'(h) = \frac{d}{dh} \left( \frac{2}{3} (2Rh^2 - h^3) \right) = \frac{2}{3} (4Rh - 3h^2)$.
Приравняем производную к нулю:
$V'(h) = 0 \implies \frac{2}{3} h(4R - 3h) = 0$.
Так как высота $h$ не может быть равна нулю, получаем:
$4R - 3h = 0 \implies h = \frac{4}{3}R$.
Это точка максимума, так как $V(0) = 0$, $V(2R) = 0$, а при $h = \frac{4}{3}R$ функция принимает положительное значение.
Подставим значение радиуса $R = 9$ см, чтобы найти высоту, при которой объем будет наибольшим:
$h = \frac{4}{3} \cdot 9 = 12$ см.
Теперь вычислим максимальный объем, подставив $h=12$ и $R=9$ в формулу для объема:
$V_{max} = \frac{2}{3} (2 \cdot 9 \cdot 12^2 - 12^3) = \frac{2}{3} (18 \cdot 144 - 1728) = \frac{2}{3} (2592 - 1728) = \frac{2}{3} \cdot 864 = 2 \cdot 288 = 576$ см³.
Таким образом, наибольший объем правильной четырехугольной пирамиды, вписанной в сферу радиуса 9 см, равен 576 см³.

Ответ: 576 см³.