Номер 654, страница 179 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

654. В треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ боковые грани $AA_1B_1B$ и $AA_1C_1C$ перпендикулярны и каждая из них – квадрат со стороной $a$. Найдите расстояние между прямыми $AC_1$ и $BA_1$.

Из условия задачи следует, что боковые грани $AA_1B_1B$ и $AA_1C_1C$ являются квадратами со стороной $a$. Это означает, что боковое ребро $AA_1 = a$ и стороны основания $AB = a$, $AC = a$. Так как боковые грани являются квадратами, боковые ребра перпендикулярны сторонам основания, к которым они примыкают ($AA_1 \perp AB$ и $AA_1 \perp AC$). Следовательно, ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, и призма $ABCA_1B_1C_1$ является прямой.
Также по условию, грани $AA_1B_1B$ и $AA_1C_1C$ перпендикулярны. Угол между этими плоскостями, пересекающимися по прямой $AA_1$, равен линейному углу двугранного угла, который образуют перпендикуляры к ребру $AA_1$, проведенные в этих плоскостях. Такими перпендикулярами являются отрезки $AB$ и $AC$. Таким образом, $\angle BAC = 90^\circ$. Значит, в основании призмы лежит прямоугольный равнобедренный треугольник $ABC$ с катетами $AB = a$ и $AC = a$.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $AC_1$ и $BA_1$ воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$, осью $Ox$ вдоль ребра $AB$, осью $Oy$ вдоль ребра $AC$ и осью $Oz$ вдоль ребра $AA_1$. В этой системе координат вершины призмы будут иметь следующие координаты:
$A(0, 0, 0)$, $B(a, 0, 0)$, $C(0, a, 0)$, $A_1(0, 0, a)$, $C_1(0, a, a)$.

Направляющий вектор прямой $AC_1$ это $\vec{s_1} = \vec{AC_1} = (0-0, a-0, a-0) = (0, a, a)$.
Направляющий вектор прямой $BA_1$ это $\vec{s_2} = \vec{BA_1} = (0-a, 0-0, a-0) = (-a, 0, a)$.

Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку $M_1$ с направляющим вектором $\vec{s_1}$, а другая — через точку $M_2$ с направляющим вектором $\vec{s_2}$, вычисляется по формуле:
$d = \frac{|\vec{M_1M_2} \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2})|}{|\vec{s_1} \times \vec{s_2}|}$
Возьмем точку $M_1 = A(0, 0, 0)$ на прямой $AC_1$ и точку $M_2 = B(a, 0, 0)$ на прямой $BA_1$. Тогда вектор $\vec{M_1M_2} = \vec{AB} = (a, 0, 0)$.

Вычислим векторное произведение $\vec{s_1} \times \vec{s_2}$:
$\vec{s_1} \times \vec{s_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & a & a \\ -a & 0 & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(a \cdot a - a \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot a - a \cdot (-a)) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - a \cdot (-a)) = a^2\mathbf{i} - a^2\mathbf{j} + a^2\mathbf{k} = (a^2, -a^2, a^2)$.
Найдем модуль этого вектора:
$|\vec{s_1} \times \vec{s_2}| = \sqrt{(a^2)^2 + (-a^2)^2 + (a^2)^2} = \sqrt{a^4 + a^4 + a^4} = \sqrt{3a^4} = a^2\sqrt{3}$.
Теперь вычислим смешанное произведение векторов, которое стоит в числителе формулы:
$\vec{AB} \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2}) = (a, 0, 0) \cdot (a^2, -a^2, a^2) = a \cdot a^2 + 0 \cdot (-a^2) + 0 \cdot a^2 = a^3$.

Наконец, подставим найденные значения в формулу для расстояния:
$d = \frac{|a^3|}{a^2\sqrt{3}} = \frac{a^3}{a^2\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{3}}{3}$