Номер 653, страница 179 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

653. Найдите объем шара, если известно уравнение $x^2 + y^2 + z^2 = x + y + z + 1$ его поверхности.

Для нахождения объема шара необходимо определить его радиус. Радиус можно найти, приведя уравнение поверхности шара (сферы) к каноническому виду: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0, z_0)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.

Исходное уравнение поверхности: $x^2 + y^2 + z^2 = x + y + z + 1$.

Перегруппируем члены уравнения, чтобы собрать вместе переменные $x$, $y$ и $z$:
$x^2 - x + y^2 - y + z^2 - z = 1$.

Теперь применим метод дополнения до полного квадрата для каждой переменной. Для этого к выражению вида $a^2 - 2ab$ нужно добавить $b^2$, чтобы получить $(a-b)^2$.

Для $x$: $x^2 - x = (x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) - (\frac{1}{2})^2 = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$.

Аналогично для $y$ и $z$:
$y^2 - y = (y^2 - 2 \cdot y \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) - (\frac{1}{2})^2 = (y - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$.
$z^2 - z = (z^2 - 2 \cdot z \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) - (\frac{1}{2})^2 = (z - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$.

Подставим полученные выражения обратно в уравнение:
$((x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) + ((y - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) + ((z - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) = 1$.

Теперь перенесем все числовые члены в правую часть уравнения:
$(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 + (z - \frac{1}{2})^2 = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$.
$(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 + (z - \frac{1}{2})^2 = \frac{4}{4} + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$.

Из канонического вида уравнения мы видим, что квадрат радиуса $R^2 = \frac{7}{4}$.
Следовательно, радиус шара равен $R = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. Подставим значение радиуса:
$V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{7}}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{(\sqrt{7})^3}{2^3} = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{7\sqrt{7}}{8}$.

Упростим выражение:
$V = \frac{4 \cdot 7\sqrt{7}}{3 \cdot 8}\pi = \frac{28\sqrt{7}}{24}\pi = \frac{7\sqrt{7}}{6}\pi$.

Ответ: $V = \frac{7\sqrt{7}}{6}\pi$.