Номер 642, страница 178 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

642. Основание пирамиды – трапеция с боковыми сторонами 8 см и 10 см, каждая ее боковая грань наклонена к основанию под углом $60^\circ$, высота пирамиды равна $4\sqrt{3}\text{ см}$. Тогда площадь ее полной поверхности равна:

1) $96\sqrt{3}\text{ см}^2$;

2) $144\text{ см}^2$;

3) $200\text{ см}^2$;

4) $216\text{ см}^2$;

5) $360\text{ см}^2$.

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ равна сумме площади ее основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

Так как все боковые грани пирамиды наклонены к основанию под одним и тем же углом $\alpha = 60^{\circ}$, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание. Это означает, что в трапецию, лежащую в основании, можно вписать окружность.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной в основание окружности $r$ и апофемой $h_a$ (высотой боковой грани). В этом треугольнике катет $H$ противолежит углу $\alpha$, а катет $r$ прилежит к нему. Следовательно, их связывает соотношение:

$\tan(\alpha) = \frac{H}{r}$

Отсюда найдем радиус вписанной окружности, зная, что высота пирамиды $H = 4\sqrt{3}$ см:

$r = \frac{H}{\tan(\alpha)} = \frac{4\sqrt{3}}{\tan(60^{\circ})} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4$ см.

Теперь найдем площадь основания. Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности: $h_{трап} = 2r = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Для трапеции, в которую можно вписать окружность, справедливо свойство: сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$, а боковые стороны $c=8$ см и $d=10$ см. Тогда:

$a + b = c + d = 8 + 10 = 18$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h_{трап} = \frac{18}{2} \cdot 8 = 9 \cdot 8 = 72$ см².

Площадь боковой поверхности пирамиды, у которой все грани наклонены под одним углом $\alpha$ к основанию, можно найти по формуле:

$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos(\alpha)}$

Подставим известные значения:

$S_{бок} = \frac{72}{\cos(60^{\circ})} = \frac{72}{1/2} = 144$ см².

Наконец, найдем площадь полной поверхности пирамиды:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 72 + 144 = 216$ см².

Этот результат соответствует варианту ответа 4).

Ответ: 4) 216 см².