Номер 638, страница 177 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

638. Даны двугранный угол 60° и точка, удаленная от его граней на 3 см и 9 см. Расстояние от этой точки до его ребра равно:

1) 12 см;

2) 12,5 см;

3) $2\sqrt{39}$ см;

4) $5\sqrt{6}$ см;

5) $4\sqrt{10}$ см.

Для решения задачи рассмотрим сечение двугранного угла плоскостью, которая перпендикулярна его ребру и проходит через заданную точку. В этой плоскости сечение представляет собой плоский угол величиной $60^\circ$. Обозначим вершину этого угла как O (точка на ребре), а стороны угла — как лучи, лежащие в гранях двугранного угла. Данная точка, обозначим ее M, будет лежать внутри этого плоского угла.

Расстояние от точки до плоскости (грани) — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость. В нашем сечении это будут перпендикуляры из точки M на стороны угла. Пусть MP и MQ — перпендикуляры, опущенные из точки M на стороны угла. Согласно условию, их длины равны $MP = 3$ см и $MQ = 9$ см. Искомое расстояние от точки M до ребра двугранного угла есть длина отрезка MO.

Рассмотрим четырехугольник OPMQ. В нем углы $\angle OPM$ и $\angle OQM$ являются прямыми ($90^\circ$), так как MP и MQ — это перпендикуляры. Угол при вершине O равен $60^\circ$. Сумма углов в четырехугольнике составляет $360^\circ$, поэтому мы можем найти угол $\angle PMQ$:

$\angle PMQ = 360^\circ - \angle POQ - \angle OPM - \angle OQM = 360^\circ - 60^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 120^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник PMQ. Нам известны две его стороны ($MP=3$, $MQ=9$) и угол между ними ($\angle PMQ=120^\circ$). Мы можем найти длину третьей стороны PQ по теореме косинусов:

$PQ^2 = MP^2 + MQ^2 - 2 \cdot MP \cdot MQ \cdot \cos(\angle PMQ)$

$PQ^2 = 3^2 + 9^2 - 2 \cdot 3 \cdot 9 \cdot \cos(120^\circ) = 9 + 81 - 54 \cdot (-\frac{1}{2}) = 90 + 27 = 117$.

Отсюда $PQ = \sqrt{117} = \sqrt{9 \cdot 13} = 3\sqrt{13}$ см.

В четырехугольнике OPMQ сумма противоположных углов $\angle OPM + \angle OQM = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Это свойство вписанного четырехугольника, то есть вокруг OPMQ можно описать окружность. Поскольку углы $\angle OPM$ и $\angle OQM$ прямые, они опираются на диаметр этой окружности. Следовательно, отрезок MO является диаметром окружности, описанной также и около треугольника PMQ.

По следствию из теоремы синусов для треугольника PMQ, диаметр описанной окружности равен отношению длины стороны к синусу противолежащего угла:

$MO = \frac{PQ}{\sin(\angle PMQ)}$

Подставим известные значения:

$MO = \frac{3\sqrt{13}}{\sin(120^\circ)} = \frac{3\sqrt{13}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6\sqrt{13}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{13} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{39}}{3} = 2\sqrt{39}$ см.

Данный результат соответствует варианту ответа 3).

Ответ: $2\sqrt{39}$ см.