Номер 637, страница 177 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

637. Даны ромб $ABCD$ со стороной $4\sqrt{2}$ дм и углом $45^\circ$ и равносторонний треугольник $DCE$. Если расстояние от точки $E$ до прямой $AB$ равно $2\sqrt{10}$ дм, то угол между плоскостями $ABC$ и $DCE$ равен:

1) $90^\circ$;

2) $60^\circ$;

3) $45^\circ$;

4) $30^\circ$;

5) $\arccos \frac{1}{2\sqrt{6}}$.

Для решения задачи найдем искомый угол $\phi$ между плоскостями ромба $ABC$ и треугольника $DCE$ с помощью геометрического метода. Линией пересечения этих плоскостей является прямая $DC$.

1. Построим линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями. Для этого в каждой из плоскостей проведем перпендикуляры к общей прямой $DC$ из одной точки.

2. В плоскости треугольника $DCE$ проведем высоту $EM$. Так как треугольник $DCE$ равносторонний со стороной, равной стороне ромба $a = 4\sqrt{2}$ дм, то $EM$ является также медианой, и точка $M$ — середина $DC$. Длина высоты $EM$ равна:$EM = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{6}$ дм.По построению, $EM \perp DC$.

3. В плоскости ромба $ABCD$ из точки $M$ проведем перпендикуляр к прямой $DC$. Так как в ромбе противоположные стороны параллельны ($AB \parallel DC$), этот перпендикуляр будет также перпендикулярен прямой $AB$. Его длина равна высоте ромба $h_{ABCD}$.Высоту ромба найдем по формуле:$h_{ABCD} = a \cdot \sin(45^\circ) = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4$ дм.Пусть $N$ — точка на прямой $AB$, такая что $MN \perp DC$. Тогда $MN = 4$ дм.

4. Угол $\phi$ между плоскостями $(ABC)$ и $(DCE)$ равен углу между перпендикулярами $EM$ и $MN$, проведенными к линии их пересечения $DC$. То есть, $\phi = \angle EMN$.

5. Рассмотрим проекцию $E'$ точки $E$ на плоскость ромба $(ABC)$. Так как $EM$ — наклонная к плоскости $(ABC)$, а $MN$ — ее проекция (поскольку $MN$ лежит в плоскости ромба и проходит через основание наклонной $M$), то $E'$ будет лежать на прямой $MN$. Треугольник $\triangle EME'$ — прямоугольный ($\angle EE'M = 90^\circ$). В этом треугольнике:

• Гипотенуза $EM = 2\sqrt{6}$ дм.
• Катет $EE' = EM \cdot \sin\phi = 2\sqrt{6}\sin\phi$ (расстояние от $E$ до плоскости ромба).
• Катет $ME' = EM \cdot \cos\phi = 2\sqrt{6}\cos\phi$.

6. По условию, расстояние от точки $E$ до прямой $AB$ равно $2\sqrt{10}$ дм. Обозначим это расстояние $d(E, AB)$. Пусть $K$ — точка на $AB$ такая, что $EK \perp AB$. Тогда $EK = 2\sqrt{10}$ дм.

7. Применим теорему о трех перпендикулярах. $EK$ — наклонная к плоскости $(ABC)$, $E'K$ — ее проекция. Так как $EK \perp AB$, то и $E'K \perp AB$.Расстояние от точки $E'$ (лежащей на прямой $MN$) до прямой $AB$ равно длине отрезка $E'N$, так как $MN \perp AB$. Следовательно, $E'K = E'N$.Длина $E'N$ может быть найдена как $|MN - ME'|$ или $|MN + ME'|$, в зависимости от расположения точки $E'$. В любом случае, $E'N = |4 \pm 2\sqrt{6}\cos\phi|$.

8. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle EE'K$ (он же $\triangle EE'N$). По теореме Пифагора $EK^2 = (EE')^2 + (E'N)^2$. Подставим известные значения:$(2\sqrt{10})^2 = (2\sqrt{6}\sin\phi)^2 + (4 \pm 2\sqrt{6}\cos\phi)^2$$40 = 24\sin^2\phi + (16 \pm 16\sqrt{6}\cos\phi + 24\cos^2\phi)$$40 = 24\sin^2\phi + 24\cos^2\phi + 16 \pm 16\sqrt{6}\cos\phi$$40 = 24(\sin^2\phi + \cos^2\phi) + 16 \pm 16\sqrt{6}\cos\phi$$40 = 24 \cdot 1 + 16 \pm 16\sqrt{6}\cos\phi$$40 = 40 \pm 16\sqrt{6}\cos\phi$

Отсюда получаем:$0 = \pm 16\sqrt{6}\cos\phi$$\cos\phi = 0$

Так как $\phi$ — угол между плоскостями, то $0^\circ \le \phi \le 180^\circ$. Единственное решение уравнения $\cos\phi = 0$ на этом промежутке — $\phi = 90^\circ$.

Ответ: 1) 90°.