Номер 617, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

617. Высота конуса равна половине образующей, а радиус его основания равен $2\sqrt{3}$ см. Найдите площадь полной поверхности этого конуса.

Обозначим высоту конуса как $H$, радиус его основания как $R$, а образующую как $L$.

Согласно условию задачи, нам дано:

1. Высота конуса равна половине образующей: $H = \frac{L}{2}$.

2. Радиус основания: $R = 2\sqrt{3}$ см.

В конусе высота, радиус и образующая образуют прямоугольный треугольник, в котором образующая $L$ является гипотенузой, а высота $H$ и радиус $R$ — катетами. По теореме Пифагора имеем соотношение: $L^2 = H^2 + R^2$.

Подставим в это уравнение известные нам данные. Заменим $H$ на $\frac{L}{2}$ и $R$ на $2\sqrt{3}$:

$L^2 = (\frac{L}{2})^2 + (2\sqrt{3})^2$

Упростим уравнение:

$L^2 = \frac{L^2}{4} + 4 \cdot 3$

$L^2 = \frac{L^2}{4} + 12$

Теперь решим это уравнение относительно $L$:

$L^2 - \frac{L^2}{4} = 12$

$\frac{4L^2 - L^2}{4} = 12$

$\frac{3L^2}{4} = 12$

$3L^2 = 12 \cdot 4$

$3L^2 = 48$

$L^2 = 16$

Поскольку длина образующей — положительная величина, $L = \sqrt{16} = 4$ см.

Теперь мы можем найти площадь полной поверхности конуса ($S_{полн}$). Она равна сумме площади основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$):

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

Формулы для площадей:

$S_{осн} = \pi R^2$

$S_{бок} = \pi R L$

Таким образом, формула для полной поверхности: $S_{полн} = \pi R^2 + \pi R L = \pi R (R + L)$.

Подставим значения $R = 2\sqrt{3}$ см и $L = 4$ см:

$S_{полн} = \pi \cdot 2\sqrt{3} \cdot (2\sqrt{3} + 4)$

Раскроем скобки:

$S_{полн} = \pi \cdot (2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} \cdot 4)$

$S_{полн} = \pi \cdot (4 \cdot 3 + 8\sqrt{3})$

$S_{полн} = \pi \cdot (12 + 8\sqrt{3})$

$S_{полн} = (12 + 8\sqrt{3})\pi$ см².

Ответ: $(12 + 8\sqrt{3})\pi$ см².