Номер 576, страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

576. Дана правильная четырехугольная пирамида. Найдите:

а) наименьшую площадь ее боковой поверхности, если объем пирамиды равен $4 \text{ дм}^3$;

б) ее наибольший объем, если площадь боковой поверхности пирамиды равна $36 \text{ см}^2$.

а)

Пусть сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна $a$, а высота — $h$.

Объем пирамиды $V$ вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} a^2 h$.

По условию, $V = 4$ дм³, следовательно, $\frac{1}{3} a^2 h = 4$, откуда можно выразить высоту: $h = \frac{12}{a^2}$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна $S_{бок} = 2al$, где $l$ — апофема (высота боковой грани).

Апофема, высота и половина стороны основания образуют прямоугольный треугольник, поэтому $l = \sqrt{h^2 + (\frac{a}{2})^2}$.

Подставим выражение для $h$ в формулу для апофемы:

$l = \sqrt{(\frac{12}{a^2})^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{144}{a^4} + \frac{a^2}{4}}$.

Теперь выразим площадь боковой поверхности как функцию от $a$:

$S_{бок}(a) = 2a \sqrt{\frac{144}{a^4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{4a^2(\frac{144}{a^4} + \frac{a^2}{4})} = \sqrt{\frac{576}{a^2} + a^4}$.

Чтобы найти наименьшее значение $S_{бок}$, можно найти наименьшее значение ее квадрата, функции $f(a) = S_{бок}^2(a) = \frac{576}{a^2} + a^4$.

Найдем производную функции $f(a)$ по переменной $a$:

$f'(a) = (576a^{-2} + a^4)' = -2 \cdot 576a^{-3} + 4a^3 = -\frac{1152}{a^3} + 4a^3$.

Приравняем производную к нулю для нахождения точки экстремума:

$-\frac{1152}{a^3} + 4a^3 = 0 \implies 4a^3 = \frac{1152}{a^3} \implies 4a^6 = 1152 \implies a^6 = 288$.

Вторая производная $f''(a) = \frac{3 \cdot 1152}{a^4} + 12a^2$ положительна при $a > 0$, значит, найденная точка является точкой минимума.

Найдем минимальное значение площади боковой поверхности. При $a^6 = 288$, имеем $a^2 = \sqrt[3]{288}$ и $a^4 = (\sqrt[3]{288})^2$.

$S_{бок, мин}^2 = \frac{576}{\sqrt[3]{288}} + (\sqrt[3]{288})^2 = \frac{2 \cdot 288}{(288)^{1/3}} + (288)^{2/3} = 2 \cdot (288)^{2/3} + (288)^{2/3} = 3 \cdot (288)^{2/3}$.

$S_{бок, мин} = \sqrt{3 \cdot (288)^{2/3}} = \sqrt{3} \cdot (288)^{1/3} = \sqrt{3}\sqrt[3]{288}$.

Упростим выражение: $\sqrt[3]{288} = \sqrt[3]{8 \cdot 36} = 2\sqrt[3]{36}$.

$S_{бок, мин} = \sqrt{3} \cdot 2\sqrt[3]{36} = 2\sqrt{3}\sqrt[3]{36}$ дм².

Ответ: $2\sqrt{3}\sqrt[3]{36}$ дм².

б)

Пусть сторона основания равна $a$, высота — $h$, апофема — $l$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок} = 2al$. По условию $S_{бок} = 36$ см², значит $2al = 36$, или $al = 18$.

Связь между $a$, $h$ и $l$ та же: $l = \sqrt{h^2 + (\frac{a}{2})^2}$.

Подставим это в $al=18$: $a\sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}} = 18$.

Возведем обе части в квадрат: $a^2(h^2 + \frac{a^2}{4}) = 18^2 = 324$.

Отсюда выразим $h^2$: $a^2h^2 = 324 - \frac{a^4}{4} \implies h^2 = \frac{324}{a^2} - \frac{a^2}{4}$.

Объем пирамиды $V = \frac{1}{3}a^2h$. Чтобы найти максимум $V$, будем максимизировать $V^2$:

$V^2 = \frac{1}{9}a^4h^2 = \frac{1}{9}a^4(\frac{324}{a^2} - \frac{a^2}{4}) = \frac{1}{9}(324a^2 - \frac{a^6}{4})$.

Сделаем замену $x = a^2$. Нужно найти максимум функции $g(x) = \frac{1}{9}(324x - \frac{x^3}{4})$ при $x > 0$.

Найдем производную: $g'(x) = \frac{1}{9}(324 - \frac{3x^2}{4})$.

Приравняем производную к нулю:

$324 - \frac{3x^2}{4} = 0 \implies 3x^2 = 324 \cdot 4 \implies x^2 = 108 \cdot 4 = 432$.

$x = \sqrt{432} = \sqrt{144 \cdot 3} = 12\sqrt{3}$.

Вторая производная $g''(x) = \frac{1}{9}(-\frac{6x}{4}) = -\frac{x}{6}$ отрицательна при $x > 0$, значит, это точка максимума.

Максимальный объем достигается при $a^2 = 12\sqrt{3}$.

Найдем соответствующую высоту $h$:

$h^2 = \frac{324}{a^2} - \frac{a^2}{4} = \frac{324}{12\sqrt{3}} - \frac{12\sqrt{3}}{4} = \frac{27}{\sqrt{3}} - 3\sqrt{3} = \frac{27\sqrt{3}}{3} - 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$.

$h = \sqrt{6\sqrt{3}}$.

Теперь вычислим максимальный объем:

$V_{макс} = \frac{1}{3}a^2h = \frac{1}{3}(12\sqrt{3})\sqrt{6\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}\sqrt{6\sqrt{3}} = 4\sqrt{18\sqrt{3}} = 4\sqrt{9 \cdot 2\sqrt{3}} = 4 \cdot 3 \sqrt{2\sqrt{3}} = 12\sqrt{2\sqrt{3}}$ см³.

Ответ: $12\sqrt{2\sqrt{3}}$ см³.