Номер 567, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

567. Найдите объем $n$-угольной усеченной пирамиды, площади оснований которой равны $289 \text{ см}^2$ и $100 \text{ см}^2$, а высота пирамиды, до которой дополнена эта усеченная пирамида, равна 9 см.

Для нахождения объема усеченной пирамиды воспользуемся формулой:

$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

где $h$ — высота усеченной пирамиды, а $S_1$ и $S_2$ — площади ее оснований.

По условию, площади оснований равны $S_1 = 289$ см² и $S_2 = 100$ см². Высота полной пирамиды, из которой получена усеченная, равна $H = 9$ см. Для вычисления объема нам необходимо найти высоту самой усеченной пирамиды $h$.

Усеченная пирамида является частью полной пирамиды, от которой отсечена подобная ей меньшая пирамида. Отношение площадей оснований этих пирамид равно квадрату отношения их высот. Пусть $H_{малой}$ — высота отсеченной (малой) пирамиды.

$\frac{S_2}{S_1} = (\frac{H_{малой}}{H})^2$

Подставим известные значения:

$\frac{100}{289} = (\frac{H_{малой}}{9})^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\sqrt{\frac{100}{289}} = \frac{H_{малой}}{9}$

$\frac{10}{17} = \frac{H_{малой}}{9}$

Отсюда находим высоту малой пирамиды:

$H_{малой} = 9 \cdot \frac{10}{17} = \frac{90}{17}$ см.

Высота усеченной пирамиды $h$ — это разность высот полной и малой пирамид:

$h = H - H_{малой} = 9 - \frac{90}{17} = \frac{9 \cdot 17 - 90}{17} = \frac{153 - 90}{17} = \frac{63}{17}$ см.

Теперь мы можем вычислить объем усеченной пирамиды. Найдем среднее геометрическое площадей оснований:

$\sqrt{S_1 S_2} = \sqrt{289 \cdot 100} = \sqrt{289} \cdot \sqrt{100} = 17 \cdot 10 = 170$ см².

Подставляем все найденные значения в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot h \cdot (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{63}{17} \cdot (289 + 100 + 170)$

$V = \frac{21}{17} \cdot (559)$

$V = \frac{21 \cdot 559}{17} = \frac{11739}{17}$ см³.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$11739 \div 17 = 690$ (остаток $9$).

Следовательно, $V = 690 \frac{9}{17}$ см³.

Ответ: $690 \frac{9}{17}$ см³.