Номер 533, страница 158 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

533. Треугольник, стороны которого равны 15 см, 41 см и 52 см, вращается вокруг большей стороны. Найдите объем тела вращения.

Дано:

$a = 15 \, \text{см}$

$b = 41 \, \text{см}$

$c = 52 \, \text{см}$

Перевод в СИ:

$a = 15 \, \text{см} = 0.15 \, \text{м}$

$b = 41 \, \text{см} = 0.41 \, \text{м}$

$c = 52 \, \text{см} = 0.52 \, \text{м}$

Найти:

$V_{тела \, вращения}$

Решение:

При вращении треугольника вокруг одной из его сторон образуется тело, состоящее из двух конусов, соединенных общим основанием. Радиус общего основания $R$ этих конусов равен высоте треугольника, опущенной на сторону вращения. Сумма высот этих двух конусов равна длине стороны, вокруг которой происходит вращение.

1. Найдем полупериметр $s$ треугольника:

$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{15+41+52}{2} = \frac{108}{2} = 54 \, \text{см}$

2. Найдем площадь $S$ треугольника по формуле Герона:

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$S = \sqrt{54(54-15)(54-41)(54-52)}$

$S = \sqrt{54 \cdot 39 \cdot 13 \cdot 2}$

$S = \sqrt{(2 \cdot 3^3) \cdot (3 \cdot 13) \cdot 13 \cdot 2}$

$S = \sqrt{2^2 \cdot 3^4 \cdot 13^2}$

$S = 2 \cdot 3^2 \cdot 13 = 2 \cdot 9 \cdot 13 = 18 \cdot 13 = 234 \, \text{см}^2$

3. Определим высоту $h$ (которая является радиусом $R$ общего основания конусов), опущенную на самую длинную сторону $c=52$ см. Площадь треугольника также может быть выражена как $S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h$.

$h = R = \frac{2S}{c} = \frac{2 \cdot 234}{52} = \frac{468}{52} = 9 \, \text{см}$

4. Объем тела вращения $V$ равен сумме объемов двух конусов. Если $h_1$ и $h_2$ — высоты этих конусов, то $h_1+h_2=c$.

Формула объема конуса: $V_{конус} = \frac{1}{3} \pi R^2 H$.

$V = V_1 + V_2 = \frac{1}{3} \pi R^2 h_1 + \frac{1}{3} \pi R^2 h_2$

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 (h_1 + h_2)$

Так как $h_1 + h_2 = c$, получаем:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 c$

5. Подставим найденные значения $R=9 \, \text{см}$ и $c=52 \, \text{см}$:

$V = \frac{1}{3} \pi (9 \, \text{см})^2 (52 \, \text{см})$

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 81 \, \text{см}^2 \cdot 52 \, \text{см}$

$V = 27 \pi \cdot 52 \, \text{см}^3$

$V = 1404 \pi \, \text{см}^3$

Ответ:

Объем тела вращения составляет $1404 \pi \, \text{см}^3$.