Номер 517, страница 154 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

517. Найдите объем цилиндра, если:

a) развертка его боковой поверхности – квадрат со стороной, равной 8 см;

б) в развертке его боковой поверхности образующая составляет с диагональю угол, равный $60^{\circ}$, а высота цилиндра равна $h$.

Дано

Развертка боковой поверхности цилиндра – квадрат со стороной $a$.

Перевод в СИ

Сторона квадрата $a = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$.

Найти:

Объем цилиндра $V$.

Решение

Развертка боковой поверхности цилиндра представляет собой прямоугольник. Если это квадрат со стороной $a$, то высота цилиндра $h$ равна стороне квадрата, и длина окружности основания $C$ также равна стороне квадрата.

Следовательно, $h = a = 8 \text{ см}$.

Длина окружности основания $C = 2 \pi r$, где $r$ – радиус основания цилиндра.

По условию, $C = a$, значит $2 \pi r = 8 \text{ см}$.

Отсюда радиус основания $r = \frac{8}{2 \pi} = \frac{4}{\pi} \text{ см}$.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h$.

Подставляем найденные значения $r$ и $h$:

$V = \pi \left(\frac{4}{\pi}\right)^2 \cdot 8$

$V = \pi \cdot \frac{16}{\pi^2} \cdot 8$

$V = \frac{16 \cdot 8}{\pi}$

$V = \frac{128}{\pi} \text{ см}^3$.

Ответ: $V = \frac{128}{\pi} \text{ см}^3$

б)

Дано

Развертка боковой поверхности цилиндра – прямоугольник. Угол между образующей и диагональю развертки $\alpha = 60^\circ$. Высота цилиндра $h$.

Перевод в СИ

Данные представлены в буквенном виде и стандартных единицах (градусы), поэтому перевод в СИ не требуется, так как ответ будет выражен через $h$.

Найти:

Объем цилиндра $V$.

Решение

Развертка боковой поверхности цилиндра – это прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника – высота цилиндра ($h$), а другая сторона – длина окружности основания цилиндра ($L = 2 \pi r$), где $r$ – радиус основания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный сторонами развертки (высотой $h$ и длиной $L$) и ее диагональю.

По условию, образующая (высота $h$) составляет с диагональю угол $60^\circ$. В этом прямоугольном треугольнике высота $h$ является катетом, прилежащим к углу $60^\circ$, а длина $L$ является катетом, противолежащим этому углу.

Используем тригонометрическую функцию тангенса:

$\tan(60^\circ) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{L}{h}$

Мы знаем, что $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

Следовательно, $L = h \sqrt{3}$.

Так как $L = 2 \pi r$, мы можем найти радиус $r$:

$2 \pi r = h \sqrt{3}$

$r = \frac{h \sqrt{3}}{2 \pi}$.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h$.

Подставляем найденное выражение для $r$:

$V = \pi \left(\frac{h \sqrt{3}}{2 \pi}\right)^2 h$

$V = \pi \cdot \frac{h^2 \cdot (\sqrt{3})^2}{(2 \pi)^2} \cdot h$

$V = \pi \cdot \frac{h^2 \cdot 3}{4 \pi^2} \cdot h$

$V = \frac{3 \pi h^3}{4 \pi^2}$

$V = \frac{3 h^3}{4 \pi}$.

Ответ: $V = \frac{3 h^3}{4 \pi}$