Номер 507, страница 151 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

507. Высота правильной усеченной треугольной пирамиды равна $3\sqrt{3}$ см, ее объем равен $189\text{ см}^3$, а площади оснований относятся как $1 : 4$. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Дано:

$H = 3\sqrt{3}$ см

$V = 189$ см$^3$

$S_1 : S_2 = 1 : 4$

Перевод в СИ:

$H = 3\sqrt{3} \times 10^{-2}$ м

$V = 189 \times 10^{-6}$ м$^3$

Найти:

$S_{бок}$

Решение:

Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3}H(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$.

Известно, что площади оснований относятся как $1:4$, то есть $S_2 = 4S_1$.

Подставим это соотношение в формулу объема:

$V = \frac{1}{3}H(S_1 + 4S_1 + \sqrt{S_1 \cdot 4S_1})$

$V = \frac{1}{3}H(5S_1 + \sqrt{4S_1^2})$

$V = \frac{1}{3}H(5S_1 + 2S_1)$

$V = \frac{1}{3}H(7S_1)$

$V = \frac{7}{3}HS_1$

Выразим $S_1$ из этой формулы:

$S_1 = \frac{3V}{7H}$

Подставим численные значения:

$S_1 = \frac{3 \cdot 189 \times 10^{-6}}{7 \cdot 3\sqrt{3} \times 10^{-2}}$

$S_1 = \frac{567 \times 10^{-6}}{21\sqrt{3} \times 10^{-2}}$

$S_1 = \frac{27}{\sqrt{3}} \times 10^{-4}$

$S_1 = \frac{27\sqrt{3}}{3} \times 10^{-4}$

$S_1 = 9\sqrt{3} \times 10^{-4}$ м$^2$

Тогда площадь большего основания $S_2 = 4S_1 = 4 \cdot 9\sqrt{3} \times 10^{-4} = 36\sqrt{3} \times 10^{-4}$ м$^2$.

Поскольку основания являются правильными треугольниками, их площади выражаются как $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, где $a$ – сторона треугольника. Отсюда выразим стороны оснований:

$a^2 = \frac{4S}{\sqrt{3}}$

Для меньшего основания:

$a_1^2 = \frac{4 \cdot 9\sqrt{3} \times 10^{-4}}{\sqrt{3}} = 36 \times 10^{-4}$

$a_1 = \sqrt{36 \times 10^{-4}} = 6 \times 10^{-2}$ м

Для большего основания:

$a_2^2 = \frac{4 \cdot 36\sqrt{3} \times 10^{-4}}{\sqrt{3}} = 144 \times 10^{-4}$

$a_2 = \sqrt{144 \times 10^{-4}} = 12 \times 10^{-2}$ м

Периметры оснований равны $P = 3a$:

$P_1 = 3a_1 = 3 \cdot 6 \times 10^{-2} = 18 \times 10^{-2}$ м

$P_2 = 3a_2 = 3 \cdot 12 \times 10^{-2} = 36 \times 10^{-2}$ м

Для нахождения площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды необходима апофема боковой грани ($h_a$). Апофема правильного треугольника (радиус вписанной окружности) $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

$r_1 = \frac{a_1\sqrt{3}}{6} = \frac{6 \times 10^{-2} \sqrt{3}}{6} = \sqrt{3} \times 10^{-2}$ м

$r_2 = \frac{a_2\sqrt{3}}{6} = \frac{12 \times 10^{-2} \sqrt{3}}{6} = 2\sqrt{3} \times 10^{-2}$ м

Апофема боковой грани ($h_a$) является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и разность апофем оснований $(r_2 - r_1)$:

$h_a = \sqrt{H^2 + (r_2 - r_1)^2}$

$h_a = \sqrt{(3\sqrt{3} \times 10^{-2})^2 + (2\sqrt{3} \times 10^{-2} - \sqrt{3} \times 10^{-2})^2}$

$h_a = \sqrt{(3\sqrt{3} \times 10^{-2})^2 + (\sqrt{3} \times 10^{-2})^2}$

$h_a = \sqrt{(9 \cdot 3 \cdot 10^{-4}) + (3 \cdot 10^{-4})}$

$h_a = \sqrt{27 \cdot 10^{-4} + 3 \cdot 10^{-4}}$

$h_a = \sqrt{30 \cdot 10^{-4}}$

$h_a = \sqrt{30} \times 10^{-2}$ м

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2)h_a$.

Подставим найденные значения:

$S_{бок} = \frac{1}{2}(18 \times 10^{-2} + 36 \times 10^{-2})(\sqrt{30} \times 10^{-2})$

$S_{бок} = \frac{1}{2}(54 \times 10^{-2})(\sqrt{30} \times 10^{-2})$

$S_{бок} = 27 \times 10^{-2} \cdot \sqrt{30} \times 10^{-2}$

$S_{бок} = 27\sqrt{30} \times 10^{-4}$ м$^2$

Ответ: $27\sqrt{30} \times 10^{-4}$ м$^2$